Question

[Trịnh Phương Đan]

Rất vui được biết các bạn mình học lớp 8. Rất vui được kết bạn. Mong các bạn giúp đỡ.

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: AB+CD<AC+BD<AB+BC+CD+AD

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Áp dụng bất đẳng thức về cạnh : 

• Trong tam giác  OAB :  \(AB< OA+OB\left(1\right)\) 
• Trong tam giác OCD : \(CD< OC+OD\left(2\right)\)

Cộng (1) và (2) theo vế được : \(AB+CD< OA+OB+OC+OD=AC+BD\)

\(\Rightarrow AB+CD< AC+BD\left(\text{*}\right)\)

Tương tự, ta áp dụng bất đẳng thức về cạnh trong các tam giác ABC ,  ACD , ABD , BDC  được  : 

•  \(\hept{\begin{cases}AC< AB+BC\left(3\right)\\AC< AD+DC\left(4\right)\end{cases}}\)
• \(\hept{\begin{cases}BD< AD+AB\left(5\right)\\BD< CD+BC\left(6\right)\end{cases}}\)

Cộng  (3) , (4) , (5) , (6)  theo vế được :

\(2\left(AC+BD\right)< 2\left(AB+BC+CD+AD\right)\Rightarrow AC+BD< AB+BC+CD+AD\left(\text{*}\text{*}\right)\)

Từ (*) và (**) ta được điều phải chứng minh.