Cho các đa thức \(P\left(x\right)\)và \(Q\left(x\right)\)thỏa mãn \(P\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(Q\left(x\right) Q\left(1-x\right)\right)\)với mọi số thực \(x\). Biết rằng các hệ số của \(P\left(x...

#Toán lớp 8

0

HT

❤Hàn Tử Thiên❤

7 tháng 3 2020

Cho hai đa thức \(P\left(x\right)=Q\left(x\right)+Q\left(1-x\right)\) với mọi x là số thực . Biết các hệ số của đa thức P(x) là các số nguyên không âm và P(0) = 0 . Tính P(P(7))

1

M

❤♚ℳℴℴทℛℴƴຮ♚❤

7 tháng 3 2020

Vì \(P\left(x\right)=Q\left(x\right)+Q\left(1-x\right)\)

+)\(x=0\) \(\implies\) \(P\left(0\right)=Q\left(0\right)+Q\left(1\right)=0\)

+)\(x=1\) \(\implies\) \(P\left(1\right)=Q\left(1\right)+Q\left(0\right)\)

\(\implies\) \(P\left(0\right)=P\left(1\right)=0\)

Đặt đa thức : P(x) = a_n_.\(x^n\) + a_{n - 1}. \(x^{n-1}\) + ...... + a₁ . \(x^1\) + a₀

P(x) là đa thức bậc n ; có các hệ số là : a_n; a_{n - 1}; .... ; a₁; a₀

P(1) = a_{n +} a_{n - 1}+ ......... + a₁+ a₀= 0

Mà a₀ ; a₁ ; ..... ; a_{n - 1} ; a_n \(\geq\) 0

\(\implies\) a_n+ a_{n - 1}+ ... + a₁ + a₀\(\geq\) 0

\(\implies\) P(x) \(\geq\) 0

Dấu " = " xảy ra \(\iff\) a₀ = a₁ = ..... = a_{n - 1} = a_{n =}0

_\(\implies\)P(x) = 0 với mọi x \(\in\) R

\(\implies\) P(7) = 0

\(\implies\) P(P(7)) = P(0) = 0

Vậy P(P(7)) = 0

1. Cho đa thức \(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\). CMR tồn tại nhiều nhất một đa thức \(Q\left(x\right)\) bậc \(n\) thỏa mãn \(P\left(Q\left(x\right)\right)=Q\left(P\left(x\right)\right)\) 2. Cho \(a,b,c\) là các số dương thỏa \(a^2+b^2+c^2+abc=4\). CMR \(a+b+c\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\) Giúp mình làm mấy bài này với, vài ngày nữa mình phải nộp rồi mà đến giờ mình vẫn chưa nghĩ ra được ý tưởng gì cả. Mình cảm...

LS

Lê Song Phương

20 tháng 2 2023

Câu hỏi hay

1)tìm các số nguyên x và y thỏa mãn:\(y^2=x^2+x+1\)2)cho các số thực x và y thỏa mãn \(\left(x+\sqrt{a+x^2}\right)\left(y+\sqrt{a+y^2}\right)\)=atìm giá trị biểu thức \(4\left(x^7+y^7\right)+2\left(x^5+y^5\right)+11\left(x^3+y^3\right)+2016\)3)cho x;y là các số thực khác 0 thỏa mãn x+y khác...

#Toán lớp 10

0

TT

tống thị quỳnh

10 tháng 8 2017

#Toán lớp 9

1

TN

Thắng Nguyễn

10 tháng 8 2017

post từng câu một thôi bn nhìn mệt quá

EG

EnderCraft Gaming

17 tháng 5 2020

Cho đa thức bậc 2 \(P\left(x\right)\)có hệ số tỉ lệ cao nhất là 1 và thoả mãn \(\left(x-5\right)P\left(x+4\right)=\left(x+3\right)P\left(x\right)\)với mọi x . Tìm đa thức \(P\left(x\right)\)

0

CH

Cù Hương Ly

19 tháng 8 2018

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ne0\)và x+y+z = 1. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z

\(T=\frac{\left(x+yz\right)\left(y+zx\right)\left(z+xy\right)}{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)^2}\)

#Toán lớp 8

4

SM

Sắc màu

19 tháng 8 2018

Mang hết bài tập lên hỏi à, sao nhiều thế

CH

Cù Hương Ly

19 tháng 8 2018

Ơ thế liên quan l đến cậu à Thành? Hay nên gọi là Thánh chứ nhỉ? :) Có ai khiến cậu trả lời không mà kêu lắm :> Đấy là bài tập chỗ học thêm bên ngoài, đ' làm được thì lên hỏi thắc mắc làm l gì :> Đ' hỏi bài tập ở lớp thì thôi đừng ngồi chõ mồm vào :>

Cho 2 đa thức \(P\left(x\right);Q\left(x\right)\) thỏa mãn \(P\left(x^3\right)+x.Q\left(x^3\right)\) chia hết cho \(x^2+x+1\). Chứng minh rằng đa thức \(P\left(x\right)\) chia hết cho đa thức \(x-1\).P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo cùng các bạn yêu toán giúp đỡ em tham khảo với ạ.Em cám ơn nhiều...

PK

Phạm Kim Oanh

19 tháng 3 2022

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

20 tháng 3 2022

\(x^3=x^3-1+1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+1\)

\(\Rightarrow x^3\equiv1\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x^3\right)\equiv P\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)

Và \(xQ\left(x^3\right)\equiv xQ\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x^3\right)+xQ\left(x^3\right)\equiv P\left(1\right)+xQ\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\) với mọi x nguyên

\(\Rightarrow P\left(1\right)+x.Q\left(1\right)\) chia hết \(x^2+x+1\) với mọi x nguyên

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(P\left(1\right)=Q\left(1\right)=0\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)\) có nghiệm \(x=1\) hay \(P\left(x\right)\) chia hết cho \(x-1\)

Đúng(1)

PK

Phạm Kim Oanh

24 tháng 3 2022

Cám ơn thầy Lâm ạ, ôi nhưng đây quả là bài toán khá hóc búa thầy ạ

L1

lutufine 159732486

2 tháng 5 2019

Cho đa thức \(f\left(x\right)\)thỏa mãn:\(\left(x-1\right).f\left(x\right)=\left(x+2\right).f\left(x+3\right)\)với mọi x.Tìm 5 nghiệm của f(x)

1

HT

Hoàng Thị Linh Hương

2 tháng 5 2019

(x-1) x f(x)=(x+2) x f(x+3)

Thay x=1 : (1-1) x f(1) = (1+2) x f(1+3)

=>f(4)=0

Thay x=-2 :(-2-1) x f(-2) = (-2+2) x f(-2+3)

=>f(-2)=0

Thay x=4(thay bang 0 vi f(4)=0).....

Thay x=7 (ket qua o tren)

Thay x=10 kq o tren

vay 5 nghiem la 1;2;4;7;10

mk chi tom tat thoi nha chuc bn hoc tot

NH

Nguyễn Hưng Phát

15 tháng 8 2016

Cho đa thức \(P\left(x\right)\) thỏa mãn:

\(P\left(1\right)=1;P\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^2}.P\left(x\right)\) với \(x\ne0\) và \(P\left(x_1+x_2\right)=P\left(x_1\right)+P\left(x_2\right)\) với mọi \(x_1,x_2\in R\).Tính \(P\left(\frac{5}{7}\right)\)

0

MN

Momozono Nanami

3 tháng 6 2019

Câu hỏi hay

Chứng minh rằng với mọi số thực dương thỏa mãn xyz=1

Chứng minh rằng \(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\frac{3}{4}\)

#Toán lớp 9

4

T

tth_new

3 tháng 6 2019

Em thử ạ!Em không chắc đâu.Hơi quá sức em rồi

Ta có: \(VT=\Sigma\frac{x^3}{z+y+yz+1}=\Sigma\frac{x^3}{z+y+\frac{1}{x}+1}\)

\(=\Sigma\frac{x^4}{xz+xy+1+x}=\frac{x^4}{xy+xz+x+1}+\frac{y^4}{yz+xy+y+1}+\frac{z^4}{zx+yz+z+1}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,suy ra:

\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)+3}\)

\(\ge\frac{\left(\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2+3}\) (áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3};ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))

Đặt \(t=x+y+z\ge3\sqrt{xyz}=3\) Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

Ta cần chứng minh: \(\frac{\frac{t^4}{9}}{\frac{2}{3}t^2+t+3}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow\frac{t^4}{9\left(\frac{2}{3}t^2+t+3\right)}=\frac{t^4}{6t^2+9t+27}\ge\frac{3}{4}\)(\(t\ge3\))

Thật vậy,BĐT tương đương với: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)

\(\Leftrightarrow3t^4-18t^2-27t+t^4-81\ge0\)

Ta có: \(VT\ge3t^4-18t^2-27t+3^4-81\)

\(=3t^4-18t^2-27t\).Cần chứng minh\(3t^4-18t^2-27t\ge0\Leftrightarrow3t^4\ge18t^2+27t\)

Thật vậy,chia hai vế cho \(t\ge3\),ta cần chứng minh \(3t^3\ge18t+27\Leftrightarrow3t^3-18t-27\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(t^3-27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+9\right)\ge0\)

BĐT hiển nhiên đúng,do \(t\ge3\) và \(3t^2+9t+9=3\left(t+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\ge\frac{9}{4}>0\)

Dấu "=" xảy ra khi t = 3 tức là \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\xyz=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Chứng minh hoàn tất

T

tth_new

3 tháng 6 2019

Em sửa chút cho bài làm ngắn gọn hơn.

Khúc chứng minh: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)

\(\Leftrightarrow4t^4-18t^2-27t-81\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(4t^3+12t^2+18t+27\right)\ge0\)

BĐT hiển nhiên đúng do \(t\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}t-3\ge0\\4t^3+12t^2+18t+27>0\end{cases}}\)

Còn khúc sau y chang :P Lúc làm rối quá nên không nghĩ ra ạ!