Question

[Lê Song Phương]

Đố các bạn biết chu vi của hình vuông hay hình tròn lớn hơn?

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Đặt cạnh của hình vuông là \(d\), bán kính của đường tròn là \(r\) \(\left(d,r>0\right)\). Gọi tên các điểm như hình vẽ trên, \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có \(AB=\sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2+d^2}=\frac{d\sqrt{5}}{2}\)

Dễ thấy \(\Delta BMC~\Delta BOA\) do chúng là các tam giác cân có góc ở đáy bằng nhau.

Suy ra \(BO.BC=BM.BA\) hay \(rd=\frac{BA^2}{2}=\frac{5}{8}d^2\Leftrightarrow r=\frac{5}{8}d\) vì \(d>0\)

Như vậy \(\frac{C_{circle}}{C_{square}}=\frac{2\pi r}{4d}=\frac{\pi.\frac{5}{8}d}{2d}=\frac{5\pi}{16}< 1\Leftrightarrow C_{square}>C_{circle}.\)