Mọi người giúp em bài này với ạ
Chúng minh rằng nếu \(\left|x\right|\ge3,\left|y\right|\ge3,\left|z\right|\ge3\) thì \(A=\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 5 2017
Ta có:
\(\left|H\right|=\left|\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}\right|\le\dfrac{\left|xy\right|+\left|yz\right|+\left|zx\right|}{\left|xyz\right|}=\dfrac{1}{\left|x\right|}+\dfrac{1}{\left|y\right|}+\dfrac{1}{\left|z\right|}\le\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1\)
\(\Rightarrow H\le1\) (đpcm)
T
20 tháng 10 2020
1111111111111111111
\(VT=\Sigma\frac{xy+yz+zx}{xy}=3+\Sigma\frac{z\left(x+y\right)}{xy}\)
Đến đây để ý \(\frac{1}{2}\left[\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(z+x\right)}{zx}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{x^2}}\left(\text{AM - GM}\right)\)
Là xong.
TT
0
HP
1
ML
10 tháng 7 2015
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\ge xy+yz+zx+2\left(xy+yz+zx\right)=3\left(xy+yz+zx\right)\)
Áp dụng Côsi:
\(xy+zx\ge2\sqrt{xy.zx}=2x\sqrt{yz}\)
Tương tự: \(xy+yz\ge2y\sqrt{zx};\text{ }yz+zx\ge2z\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)\ge2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 3 2018
Lời giải:
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \((a,b,c)=\left(\frac{1}{x}; \frac{1}{y}; \frac{1}{z}\right)\Rightarrow a+b+c=1\)
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(P=\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{1}{16}(*)\)
Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a+1}{64}+\frac{b+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64^2}}=\frac{3c}{16}\)
\(\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64^2}}=\frac{3a}{16}\)
\(\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c+1}{64}+\frac{a+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64^2}}=\frac{3b}{16}\)
Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn :
\(\Rightarrow P+\frac{a+b+c+3}{32}\geq \frac{3(a+b+c)}{16}\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{4}{32}\geq \frac{3}{16}\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{16}\)
Vậy \((*)\) được chứng minh. Bài toán hoàn tất.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=3\)
