Question

[Fenyr Harper]

Cho S=\(1+3+3^2+3^3+......+3^{99}+3^{100}\)

a/ Rút gọn S

b/Chứng minh S không chia hết cho 5

Answer 1

[Hồ Thu Giang]

a, \(S=1+3+3^2+3^3+....+3^{100}\)

=> \(3S=3+3^2+3^3+3^4+....+3^{101}\)

=> \(2S=3S-S=3^{101}-1\)

=> \(S=\frac{3^{101}-1}{2}\)

b, \(S=1+3+3^2+3^3+....+3^{100}\)
Tổng S có 101 số hạng. Nhóm 4 số vào 1 nhóm, ta đc 25 nhóm và thừa 1 số hạng

=> \(S=1+\left(3+3^2+3^3+3^4\right)+\left(3^5+3^6+3^7+3^8\right)+...+\left(3^{97}+3^{98}+3^{99}+3^{100}\right)\)

\(S=1+3\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^5\left(1+3+3^2+3^3\right)+...+3^{97}\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(S=1+3.40+3^5.40+...+3^{97}.40\)

\(S=1+40\left(3+3^5+...+3^{97}\right)\)

Có \(40\left(3+3^5+...+3^{97}\right)\)chia hết cho 5 (vì 40 chia hết cho 5)

1 chia 5 dư 1

=> \(S=1+40\left(3+3^5+...+3^{97}\right)\)chia 5 dư 1

=> S không chia hết cho 5 (Đpcm)