Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét tứ giác BMDH có
gócc BMD+góc BHD=180 độ
=>BMDH là tứ giác nội tiếp
b: góc AMN+góc OAM
=góc ADN+(180 độ-góc AOB)/2
=90 độ-góc HAC+90 độ-góc AOB/2
=180 độ-(90 độ-góc ACB)-góc ACB
=90 độ
=>MN vuông góc AO
=>MN//tiếp tuyến tại A của (O)
- Xét △AMD và △AHB có: \(\widehat{AMD}=\widehat{AHB}\left(=90^0\right)\), \(\widehat{BAH}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\Delta AMD\sim\Delta AHB\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AM.AB=AD.AH\left(1\right)\)
- Xét △AND và △AHC có: \(\widehat{AND}=\widehat{AHC}=90^0\), \(\widehat{CAH}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\Delta AND\sim\Delta AHC\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AN}{AH}\Rightarrow AD.AH=AN.AC\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AM.AB=AN.AC\Rightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)
Xét △AMN và △ACB có: \(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)(cmt), \(\widehat{BAC}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACB}\)
Ta có \(OA=OB\) nên △OAB cân tại O.
\(\Rightarrow\widehat{OAB}=\dfrac{180^0-\widehat{AOB}}{2}\)
Xét (O): \(\widehat{AOB}=2\widehat{ACB}\left(=sđ\stackrel\frown{AB}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{OAB}=\dfrac{180^0-2\widehat{ACB}}{2}=90^0-\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{OAB}+\widehat{AMN}=90^0\) nên MN vuông góc với OA.
=>MN song song với tiếp tuyến tại A của (O) (vì OA là bán kính của (O) ).
a) Xét tứ giác AHBI có
\(\widehat{AHB}\) và \(\widehat{AIB}\) là hai góc đối
\(\widehat{AHB}+\widehat{AIB}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: AHBI là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
hay A,H,B,I cùng nằm trên một đường tròn(đpcm)
b) Xét đường tròn (O; R) có \(\widehat{ABI}=\widehat{ACB}\) (cùng chắc cung AB)
=> \(\widehat{ABI}=\widehat{ACH}\)
Xét ΔABI và ΔACH có: \(\widehat{AIB}=\widehat{AHC}\) (=90o)
\(\widehat{ABI}=\widehat{ACH}\) (cmt)
=> ΔABI ~ ΔACH (g.g) => \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AI}{AH}\)=> AI.AC = AH.AB
c) CMTT câu b => ΔABH ~ ΔACK (g.g) => \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AH}{AK}\)
=> \(\dfrac{AI}{AH}=\dfrac{AH}{AK}\left(=\dfrac{AB}{AC}\right)\) => AH2 = AI.AK
+ ) Ta thấy ngay hai tam giác vuông AHC và ANC có chung cạnh huyền AC nên A, H, N, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
\(\Rightarrow\widehat{HNA}=\widehat{HCA}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH)
Ta thấy ngay hai tam giác vuông AMB và AHB có chung cạnh huyền AB nên A, M, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.
\(\Rightarrow\widehat{HMN}=\widehat{ABH}\) (Góc ngoài tại đỉnh đối diện bằng góc trong tại đỉnh)
Vậy nên \(\Delta ABC\sim\Delta HMN\left(g-g\right)\)
+) Ta có \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Mà \(\Delta ABC\sim\Delta HMN\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{HMN}\)
nên \(\widehat{ADC}=\widehat{HMN}\)
Chúng lại ở vị trí so le trong nên DC // HM
Ta có \(DC\perp AC\Rightarrow HM\perp AC\)
Gọi J là trung điểm AB
Ta có ngay IJ là đường trung bình tam giác ABC nên IJ // AC
Vậy nên \(HM\perp IJ\)
Mà J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHB nên IJ vuông góc cung HM tại trung điểm HM hay IJ là trung trực của HM.
Vậy thì IM = IH.
Tương tự ta có IM = IH = IN hay I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN.
a, Xét tứ giác CDME có
^MEC = ^MDC = 900
mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh MC
Vậy tứ giác CDME là tứ giác nt 1 đường tròn
b, bạn ktra lại đề
a )
Xét tứ giác AHBI , ta có :
\(\widehat{I_2}=90^o\left(gt\right)\)
\(\widehat{H_1}=90^o\left(gt\right)\)
\(\widehat{I_2}+\widehat{H_1}=90^o+90^o=180^o\)
Vay : tứ giác AHBI nội tiếp
Xét tứ giác AHCK , ta có :
\(\widehat{K_2}=90^O\left(gt\right)\)
\(\widehat{H_2}=90^o\left(gt\right)\)
\(\widehat{K_2}+\widehat{H_2}=90^o+90^o=180^o\)
Vậy tứ giác AHCK nội tiếp
1) Ta có: \(\angle AEB+\angle ADB=90+90=180\Rightarrow AEBD\) nội tiếp
2) Tương tự ta chứng minh được: \(ADCF\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle ADF=\angle ACF=\angle ABC\)
3) Ta có: \(\angle AED=\angle ABC=\angle ADF\)
Tương tự \(\Rightarrow\angle ADE=\angle AFD\)
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta AFD:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ADE=\angle AFD\\\angle AED=\angle ADF\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta AFD\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AE}{AD}\Rightarrow AD^2=AE.AF\)
4) \(\Delta ADE\sim\Delta AFD\Rightarrow\angle DAE=\angle DAF\)
\(\Rightarrow AD\) là phân giác \(\angle EAF\)
Vì M,N là trung điểm AE,AF \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=\dfrac{1}{2}AE\\AN=\dfrac{1}{2}AF\end{matrix}\right.\)
Theo đề: \(AD=AM+AN\Rightarrow AD^2=\left(AM+AN\right)^2\)
\(\Rightarrow AE.AF=\dfrac{1}{4}\left(AE+AF\right)^2\Rightarrow4AE.AF=\left(AE+AF\right)^2\)
mà \(\left(AE+AF\right)^2\ge4AE.AF\) (BĐT Cô-si)
\(\Rightarrow AE=AF\Rightarrow\Delta AEF\) cân tại A có \(AD\) là phân giác \(\angle EAF\)
\(\Rightarrow AD\) là trung trực \(EF\Rightarrow AD\bot EF\) mà \(AD\bot BC\)
\(\Rightarrow BC\parallel EF\)
Ta có: \(\angle EBC=\angle EBA+\angle ABC=\angle ACB+\angle ACF=\angle FCB\)
\(\Rightarrow BCFE\) là hình thang cân có \(AD\) là trung trực EF
\(\Rightarrow AD\) là trung trực BC mà \(O\in\) trung trực BC
\(\Rightarrow A,O,D\) thẳng hàng
