Question

[Thầy Tùng Dương]

Cho tam giác $A B C$ có 3 góc nhọn nội tiếp dường tròn $(O)(A B<A C$ ). Gọi $D$ là điểm trên cung nhỏ $B C$ sao cho $D B<D C$. Từ $D$ kẻ $D E$ vuông góc với $B C$ (E thuộc $B C$ ), kẻ $D F$ vuông góc vổ $A C$ (F thuộc $A C$ ). Đường thẳng $E F$ cắt tia $A B$ tại $K$.

a) Chứng minh tứ giảc CDEF nội tiếp và $\widehat{ D F E}=\widehat{D A B} $.
b) Chứng minh tứ giác $D K B E$ nội tiếp và $D B \cdot D F=D A \cdot D E$.
c) Gọi I, J lần lượt là trung diểm của $A B, E F$. Chứng minh $I J$ vuông góc vởi $D J$.

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) Theo đề bài, ta có \(\widehat{DEC}=\widehat{DFC}=90^o\) \(\Rightarrow\) Tứ giác CDEF nội tiếp do có 2 đỉnh kề nhau E, F cùng nhìn cạnh CD dưới góc vuông. \(\Rightarrow\widehat{DFE}=\widehat{DCE}=\widehat{DCB}=\widehat{DAB}\) (do tứ giác ABDC nội tiếp nên \(\widehat{DCB}=\widehat{DAB}\)). Từ đó suy ra đpcm.

b) Có \(\widehat{KBD}=\widehat{ACD}\) (do tứ giác ABDC nội tiếp) và \(\widehat{ACD}=\widehat{KED}\) (do tứ giác CDEF nội tiếp) \(\Rightarrow\widehat{KBD}=\widehat{KED}\) \(\Rightarrow\) Tứ giác DKBE nội tiếp. 

Mặt khác, \(\widehat{BDA}=\widehat{BCA}=\widehat{EDF}\) và \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}=\widehat{EFD}\)

\(\Rightarrow\Delta DBA~\Delta DEF\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\dfrac{DA}{DF}=\dfrac{DB}{DE}\) \(\Rightarrow DA.DE=DB.DF\)

c) \(\Delta DBA~\Delta DEF\Rightarrow\dfrac{DB}{DE}=\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{2BI}{2EJ}=\dfrac{BI}{EJ}\) . Lại có \(\widehat{DBI}=\widehat{DEJ}\) nên \(\Delta DBI~\Delta DEJ\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{DIB}=\widehat{DJE}\) hay \(\widehat{DIK}=\widehat{DJK}\) \(\Rightarrow\) Tứ giác DJIK nội tiếp \(\Rightarrow\) \(\widehat{DJI}=180^o-\widehat{DKI}\) . Lại có \(\widehat{DKI}=180^o-\widehat{BED}=90^o\) (do tứ giác DKBE nội tiếp) \(\Rightarrow\widehat{DJI}=90^o\) \(\Rightarrow\) đpcm