△ABC có ba góc nhọn, đường cao BD.Kẻ DF⊥BC tại F, DG⊥AB tại G.Kẻ đường cao BD và CE cắt nhau tại H,GF cắt ED tại I. Chứng minh I là trung điểm...
Đọc tiếp
△ABC có ba góc nhọn, đường cao BD.Kẻ DF⊥BC tại F, DG⊥AB tại G.Kẻ đường cao BD và CE cắt nhau tại H,GF cắt ED tại I. Chứng minh I là trung điểm DE
Ta có
\(DG\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{BGD}=90^o\)
\(DF\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{BFD}=90^o\)
=> G và F cùng nhìn BD dưới 1 góc vuông => BGDF là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{DGF}=\widehat{DBF}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung DF) (1)
Ta có
\(BD\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{BDC}=90^o\)
\(CE\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{BEC}=90^o\)
=> E và D cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông => BEDC là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{DBF}=\widehat{DEC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung DC) (2)
Ta có
GD//CE (cùng vg với AB) \(\Rightarrow\widehat{EDG}=\widehat{DEC}\) (góc sole trong) (3)
Từ (1) (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{DGF}=\widehat{EDG}\) => tg IDG cân tại I
=> IG=ID (4)
Ta có
\(\widehat{DGF}+\widehat{EGF}=\widehat{DGE}=90^o\)
\(\widehat{DEC}+\widehat{DEG}=\widehat{CEG}=90^o\)
Mà từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{DGF}=\widehat{DEC}\)
\(\Rightarrow\widehat{EGF}=\widehat{DEG}\) => tg IGE cân tại I => IG=IE (5)
Từ (4) và (5) => ID=IE