Cho tam giác ABC nhọn đường cao BM và CN cắt nhau tại H. I là trung điểm BC , K là trung điểm AH. Chứng minh 4 điểm K , M , I , N cùng thuộc một đường tròn.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 11 2021
b: Xét tứ giác ANHM có
\(\widehat{ANH}+\widehat{AMH}=180^0\)
Do đó: ANHM là tứ giác nội tiếp
hay A,N,H,M cùng thuộc 1 đường tròn
11 tháng 10 2019
\(\Delta BMC:\widehat{BMC}=90^0;OB=OC\Rightarrow OM=OB=OC\Rightarrow\widehat{OMC}=\widehat{ACB}\left(1\right)\)(do tam giác OMC cân)
\(\Delta AMH:\widehat{AMH}=90^0;AI=HI\Rightarrow AI=HI=IM\Rightarrow\widehat{IAM}=\widehat{IMA}\left(2\right)\)(do tam giác IAM cân)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\widehat{IMA}+\widehat{OMC}=\widehat{IAM}+\widehat{OCM}=90^0\Rightarrow\widehat{IMO}=90^0\)
Tương tự thì \(\widehat{INO}=90^0\)
Suy ra \(\widehat{NIM}+\widehat{NOM}=180^0\left(DPCM\right)\)
10 tháng 12 2023
a: Xét tứ giác AHIK có
\(\widehat{AHI}+\widehat{AKI}=90^0+90^0=180^0\)
=>AHIK là tứ giác nội tiếp
=>A,H,I,K cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó ΔACD vuông tại C
=>AC\(\perp\)CD
Ta có: BH\(\perp\)AC
AC\(\perp\)CD
Do đó:BH//CD
c: Ta có: BH//CD
I\(\in\)BH
Do đó: BI//CD
Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó; ΔABD vuông tại B
Ta có:BD\(\perp\)BA
CI\(\perp\)BA
Do đó:BD//CI
Xét tứ giác BICD có
BI//CD
BD//CI
Do đó: BICD là hình bình hành
HC
27 tháng 5 2018
a) Ta có \(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90độ\)(gt)
Nên tứ giác BNMC nội tiếp (2 đỉnh N,M cùng BC với 2 góc bằng nhau)
(Câu sau không rõ. Cái gì là tâm đường tròn nội tiếp ΔMNH?)
b) Xét ΔAMN và ΔABC có:
\(\widehat{BAC}\)chung
\(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)(tứ giác BNMC nội tiếp)
Do đó ΔAMN ~ ΔABC
Nên\(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)
hay AM.AC=AN.AB
Ta có \(\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90độ\left(gt\right)\)
Nên \(\widehat{ANH}+\widehat{AMH}=180độ\)
Suy ra tứ giác ANHM nội tiếp
Do đó \(\widehat{NAM}+\widehat{NHM}=180độ\)
Mà \(\widehat{NHM}=\widehat{BHC}\)(đối đỉnh)
\(\widehat{BHC}=\widehat{BLC}\)(tính chất đối xứng trục)
Nên \(\widehat{NAM}+\widehat{BLC}=180độ\)
Suy ra tứ giác ABLC nội tiếp đường tròn (O) (tổng 2 góc đối bằng 180độ)
c) (Câu này hình như bạn ghi sai đề rồi, nếu I là giao điểm AH với AN thì I sẽ trùng với A. Nên mình nghĩ I là giao điểm MN với AH)
Ta có \(\widehat{HDC}=\widehat{HMC}=90độ\left(gt\right)\)
Nên \(\widehat{HDC+}\widehat{HMC}=180độ\)
Do đó tứ giác HMCD nội tiếp
Suy ra \(\widehat{HMD}=\widehat{HCD}\)
Mà \(\widehat{HCD}=\widehat{HMN}\)(tứ giác BMNC nội tiếp)
Nên \(\widehat{HMD}=\widehat{HMN}\)
Vậy MH là phân giác \(\widehat{NMD}\)
Mà MH vuông góc AM (gt)
Nên AM là phân giác ngoài
Do đó \(\frac{IH}{ID}=\frac{AH}{AD}\)
hay IH.AD=AH.ID
16 tháng 3 2020
a.Ta có :
ˆAFH=ˆADB=90o→ΔAFH∼ΔADB(g.g)
→AFAD=AHAB→AF.AB=AH.AD
Tương tự AH.AD=AE.AC→AF.AB=AE.AC
b.Ta có :
ˆHFA=ˆHEA=ˆHFB=ˆHDB=90o
→AEHF,AEDB,FHDB nội tiếp
→ˆHFE=ˆFAE=ˆHBD=ˆHFD
→FH là phân giác ˆDFE
Mà FA⊥FH→FA là phân giác góc ngoài tại đỉnh F của ΔDEF
→HIHD=FIFD=AIAD
→IH.AD=AI.DH
31 tháng 10 2021
a: Xét tứ giác BCDE có
\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)
nên BCDE là tứ giác nội tiếp
hay B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn
5 tháng 3 2023
1: góc ABP=1/2*sđ cung AP=90 độ
=>BP//CH
góc ACP=1/2*sđ cung AP=90 độ
=>CP//BH
mà BP//CH
nên BHCP là hình bình hành
=>BC cắt HP tại trung điểm của mỗi đường
=>M là trung điểm của HP
Xét tứ giác BNMC có
\(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\)
=>BNMC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>BNMC nội tiếp (I)
Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=90^0+90^0=180^0\)
=>AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>AMHN nội tiếp (K)
Gọi giao điểm của AH với BC là E
Xét ΔABC có
CN,BM là đường cao
CN cắt BM tại H
Do đó: H là trực tâm
=>AH vuông góc BC tại E
\(\widehat{KNH}+\widehat{INH}=\widehat{KNI}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{KNI}=\widehat{KHN}+\widehat{NCB}\)
\(=\widehat{EHC}+\widehat{ECH}=90^0\)
\(\widehat{KMI}=\widehat{KMB}+\widehat{IMB}\)
\(=\widehat{KHM}+\widehat{MBC}\)
\(=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=90^0\)
Xét tứ giác KNIM có
\(\widehat{KNI}+\widehat{KMI}=180^0\)
=>KNIM nội tiếp