Question

[Nguyễn Hoàng Châu]

cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của AB, Gọi G là giao điểm của AC,DM. Lấy điểm E ∈ AM. Các đường thẳng GE,CD cắt nhau tại F

a, cm G là trọng tâm của ΔABD

b, cm GC=2GA

c, kẻ đường thẳng qua G cắt các cạnh AD,BC lần lượt tại I,K. Cm EI//KF

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

XétΔABD có

DM,AO là các đường trung tuyến

DM cắt AO tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABD

b: XétΔABD có

G là trọng tâm

AO là đường trung tuyến

Do đó: \(GA=\dfrac{2}{3}AO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AC=\dfrac{1}{3}AC\)

GA+GC=AC

=>\(GC+\dfrac{1}{3}AC=AC\)

=>\(GC=\dfrac{2}{3}AC\)

\(\dfrac{GC}{GA}=\dfrac{\dfrac{2}{3}AC}{\dfrac{1}{3}AC}=\dfrac{2}{3}:\dfrac{1}{3}=2\)

=>GC=2GA

c: Xét ΔGAI và ΔGCK có

\(\widehat{GAI}=\widehat{GCK}\)(hai góc so le trong, AI//CK)

\(\widehat{AGI}=\widehat{CGK}\)

Do đó: ΔGAI đồng dạng với ΔGCK

=>\(\dfrac{GA}{GC}=\dfrac{GI}{GK}\)

=>\(\dfrac{GI}{GK}=\dfrac{1}{2}\)(1)

Xét ΔAEG và ΔCFG có

\(\widehat{AEG}=\widehat{CFG}\)

\(\widehat{AGE}=\widehat{CGF}\)

Do đó: ΔAEG đồng dạng với ΔCFG

=>\(\dfrac{GA}{GC}=\dfrac{GE}{GF}=\dfrac{1}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{GI}{GK}=\dfrac{GE}{GF}\)

Xét ΔGIE và ΔGKF có

\(\dfrac{GI}{GK}=\dfrac{GE}{GF}\)

\(\widehat{IGE}=\widehat{KGF}\)

Do đó: ΔGIE đồng dạng với ΔGKF

=>\(\widehat{GIE}=\widehat{GKF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên EI//FK