Question

[Thiên Bảo Đặng Hoàng]

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12cm. Kẻ đường cao AH.

a) Chứng minh \(\Delta\)ABC đồng dạng với \(\Delta HBA\). Tính AH?

b) Chứng minh AH\(^2\) = HB.HC

c) Phân giác của góc ABC cắt AH tại F và cắt AC tại E. Tính tỉ số diện tích của \(\Delta ABE\) và \(\Delta HBF\)

Answer 1

[Kiều Vũ Linh]

a) Xét hai tam giác vuông: \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có:

\(\widehat{B}\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABC\)  ∽\(\Delta HBA\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{AH}=\dfrac{BC}{AB}\)

\(\Delta ABC\) vuông tại A (gt)

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\left(Pythagore\right)\)

\(=9^2+12^2\)

\(=225\)

\(\Rightarrow BC=15\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{12}{AH}=\dfrac{15}{9}\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{9.12}{15}=7,2\left(cm\right)\)

b) Xét hai tam giác vuông: \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\) có:

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\) (cùng phụ \(\widehat{ABC}\))

\(\Rightarrow\Delta AHB\)  ∽\(\Delta CHA\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{AH}\)

\(\Rightarrow AH^2=HB.HC\)

c) Do \(\Delta ABC\)  ∽\(\Delta HBA\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}\)

\(\Rightarrow HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9^2}{15}=5,4\left(cm\right)\)

Do \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (gt)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{CBE}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{HBF}\)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta ABE\) và \(\Delta HBF\) có:

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBF}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABE\)  ∽\(\Delta HBF\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABE}}{S_{HBF}}=\left(\dfrac{AB}{HB}\right)^2=\left(\dfrac{9}{7,2}\right)^2=\dfrac{25}{16}\)