Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{xy}{x+y}=\dfrac{yz}{y+z}=\dfrac{zx}{z+x}\\ \Rightarrow\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{z+x}{zx}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}\\ \Rightarrow x=y=z\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{x^2+x^2+x^2}{x^2+x^2+x^2}=1\)
Lời giải:
Từ điều kiện đề bài suy ra:
$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}$
$\Rightarrow (\frac{x}{y})^3=(\frac{y}{z})^3=(\frac{z}{x})^3=\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}=1$
$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=1$
$\Rightarrow x=y=z$.
Do đó:
$\frac{(x+y+z)^{2022}}{x^{337}.y^{674}.z^{1011}}=\frac{(3x)^{2022}}{x^{337}.x^{674}.x^{1011}}=\frac{3^{2022}.x^{2022}}{x^{2022}}=3^{2022}$
Lời giải:
Từ điều kiện đề bài suy ra:
$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}$
$\Rightarrow (\frac{x}{y})^3=(\frac{y}{z})^3=(\frac{z}{x})^3=\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}=1$
$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=1$
$\Rightarrow x=y=z$.
Do đó:
$\frac{(x+y+z)^{2022}}{x^{337}.y^{674}.z^{1011}}=\frac{(3x)^{2022}}{x^{337}.x^{674}.x^{1011}}=\frac{3^{2022}.x^{2022}}{x^{2022}}=3^{2022}$
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)
\(\Leftrightarrow xy+xz+yz=0\)
~ ~ ~
\(x^2+2yz\)
\(=x^2+yz-xy-xz\)
\(=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\)
Tương tự, ta có: \(y^2+2xz=\left(y-x\right)\left(y-z\right)\) và \(z^2+2xy=\left(z-x\right)\left(z-y\right)\)
\(A=\dfrac{yz}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)}+\dfrac{xz}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\dfrac{xy}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(A=\dfrac{yz\left(y-z\right)-xz\left(x-z\right)+xy\left(x-y\right)}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\)
= 1
Lời giải:
Áp dụng BĐT trong tam giác ta có:
$x+y>z$
$\Rightarrow xz+yz> z^2$
Tương tự: $xy+yz\geq y^2; xy+xz\geq x^2$
Cộng theo vế các BĐT trên ta thu được:
$2(xy+yz+xz)> x^2+y^2+z^2$
$\Leftrightarrow xy+yz+xz\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}$ (đpcm)
