Question

[Sang Kim]

Biết rằng 2^x+1/2=log₂(14- (y-2)*căn(y+1)) trong đó x>0. Tính giá trị biểu thức P=x²+y²+xy+1

A.1 B.2 C.3 D.4

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\Rightarrow2^{x+\frac{1}{x}}\ge2^2=4\Rightarrow VT\ge4\)

Xét biểu thức dưới hàm logarit vế phải:

\(14-\left(y-2\right)\sqrt{y+1}=14-\left(y+1\right)\sqrt{y+1}+3\sqrt{y+1}\)

Đặt \(t=\sqrt{y+1}\ge0\) thì \(f\left(t\right)=14-t^3+3t\)

\(f'\left(t\right)=-3t^2+3=0\Rightarrow t=1\)

Dễ dạng nhận ra đây là điểm cực đại của hàm \(f\left(t\right)\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)_{max}=f\left(1\right)=16\)

\(\Rightarrow VP\le log_216=4\le VT\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{x}\\t=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\\sqrt{y+1}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=1+0+0+1=2\)

- Nếu đề là \(2^{x+\frac{1}{2}}\) thì \(VT>\sqrt{2}\) hoàn toàn ko thể đánh giá được P, vì miền giá trị của VT và VP trùng nhau 1 đoạn (x;y) rất dài cho nên sẽ có vô số giá trị P xảy ra nên mình khẳng định luôn là đề sai

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Đề bài là \(2^{x+\frac{1}{2}}\) hả bạn? Với đề này thì ko giải được