K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

23 tháng 10 2023

a: \(\left(sinx+cosx\right)^2=m^2\)

=>\(m^2=sin^2x+cos^2x+2\cdot sinx\cdot cosx\)

=>\(2\cdot sinx\cdot cosx=m^2-1\)

\(\left(sinx-cosx\right)^2=sin^2x+cos^2x-2\cdot sinx\cdot cosx\)

\(=1-\left(m^2-1\right)=2-m^2\)

\(\left|sin^4x-cos^4x\right|=\left|\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^2x-cos^2x\right)\right|\)

\(=\left|sin^2x-cos^2x\right|\)

\(=\left|\left(sinx+cosx\right)\left(sinx-cosx\right)\right|\)

\(=\left|m\left(2-m^2\right)\right|=\left|2m-m^3\right|\)

b: \(m=sinx+cosx\)

\(=\sqrt{2}\cdot\left(sinx\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+cosx\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

\(=\sqrt{2}\cdot sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\)

=>\(\left|m\right|=\sqrt{2}\cdot\left|sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\right|\)

\(0< =\left|sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\right|< =1\)

=>\(0< =\sqrt{2}\cdot\left|sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\right|< =\sqrt{2}\)

=>\(\left|m\right|< =\sqrt{2}\)

18 tháng 11 2019

\(A=\left|\sin^4x-\cos^4x\right|=\left|\left(\sin^2x\right)^2-\left(\cos^2x\right)^2\right|\)

\(A=\left|\left(1-\cos^2x\right)^2-\left(\cos^2x\right)^2\right|=\left|1-2\cos^2x+\cos^4x-\cos^4x\right|\)

\(=\left|1-2\cos^2x\right|=\left|\sin^2x-\cos^2x\right|=\left|\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin x+\cos x\right)\right|\)

\(\sin x+\cos x=m\Rightarrow\cos x=m-\sin x\Rightarrow\sin x-\cos x=\sin x-m+\sin x=2\sin x-m\)

\(\sin x+\cos x=m\Rightarrow\sin^2x+\cos^2x+2\sin x.\cos x=m^2\)

\(\Leftrightarrow2\sin x.\cos x=m^2-1\)

\(\left(\sin x-\cos x\right)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x.\cos x=1-2.\left(m^2-1\right)=1-2m^2+2=3-2m^2\)

\(\Rightarrow\sin x-\cos x=\sqrt{\left(\sin x-\cos x\right)^2}=\sqrt{3-2m^2}\)

\(A=\left|m\sqrt{3-2m^2}\right|=\left|m\right|.\left|\sqrt{3-2m^2}\right|\)

P/s: lm đc mỗi đến đây thui à, cái CM kia chịu nhoa :)

NV
20 tháng 11 2019

\(\left(sinx+cosx\right)^2=m^2\Rightarrow1+2sinx.cosx=m^2\)\(\Rightarrow2sinx.cosx=m^2-1\)

\(\Rightarrow\left(sinx-cosx\right)^2=\left(sinx+cosx\right)^2-4sinx.cosx=m^2-2\left(m^2-1\right)=2-m^2\)

\(\left(sinx-cosx\right)^2\ge0\) \(\forall x\Rightarrow2-m^2\ge0\Rightarrow m^2\le2\Rightarrow\left|m\right|\le\sqrt{2}\)

Ta lại có \(\left(sinx-cosx\right)^2=2-m^2\Rightarrow\left|sinx-cosx\right|=\sqrt{2-m^2}\)

\(A=\left|sin^4x-cos^4x\right|=\left|\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^2x-cos^2x\right)\right|\)

\(=\left|\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+cosx\right)\right|\)

\(=\left|m\sqrt{2-m^2}\right|=\left|m\right|\sqrt{2-m^2}\)

23 tháng 3 2022

tôi nói

18 tháng 7 2022

 

 

a) Ta có (\sin x+\cos x)^{2}=\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x+\cos ^{2} x=1+2 \sin x \cos x(sinx+cosx)2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+2sinxcosx (*)
Mặt khác \sin x+\cos x=msinx+cosx=m nên m^{2}=1+2 \sin \alpha \cos \alpham2=1+2sinαcosα hay \sin \alpha \cos \alpha=\dfrac{m^{2}-1}{2}sinαcosα=2m2−1​
Đặt A=\left|\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right|A=∣∣​sin4x−cos4x∣∣​. Ta có
A=\left|\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)\right|=|(\sin x+\cos x)(\sin x-\cos x)|A=∣∣​(sin2x+cos2x)(sin2x−cos2x)∣∣​=∣(sinx+cosx)(sinx−cosx)∣
\Rightarrow A^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}(\sin x-\cos x)^{2}=(1+2 \sin x \cos x)(1-2 \sin x \cos x)⇒A2=(sinx+cosx)2(sinx−cosx)2=(1+2sinxcosx)(1−2sinxcosx)

\Rightarrow A^{2}=\left(1+\dfrac{m^{2}-1}{2}\right)\left(1-\dfrac{m^{2}-1}{2}\right)=\dfrac{3+2 m^{2}-m^{4}}{4}⇒A2=(1+2m2−1​)(1−2m2−1​)=43+2m2−m4​
Vậy A=\dfrac{\sqrt{3+2 m^{2}-m^{4}}}{2}A=23+2m2−m4​​

b) Ta có 2 \sin x \cos x \leq \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=12sinxcosx≤sin2x+cos2x=1 kết hợp với (*)(∗) suy ra

(\sin x+\cos x)^{2} \leq 2 \Rightarrow|\sin x+\cos x| \leq \sqrt{2}(sinx+cosx)2≤2⇒∣sinx+cosx∣≤2

Vậy |m| \leq \sqrt{2}∣m∣≤2​.

 

 

18 tháng 5 2017

a) \(\left(sinx+cosx\right)^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x\)\(=1+2sinxcosx\).
b) \(\left(sinx-cosx\right)^2=sin^2x-2sinxcosx+cos^2x\)\(=1-2sinxcosx\).
c) \(sin^4x+cos^4x=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2xcos^2x\)
\(=1-2sin^2xcos^2x\).

NV
26 tháng 2 2023

a.

\(\sqrt{2}sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=3sinx+cosx+2\)

\(\Leftrightarrow sin2x+cos2x=3sinx+cosx+2\)

\(\Leftrightarrow2sinx.cosx-3sinx+2cos^2x-cosx-3=0\)

\(\Leftrightarrow sinx\left(2cosx-3\right)+\left(cosx+1\right)\left(2cosx-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2cosx-3\right)\left(sinx+cosx+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=\dfrac{3}{2}\left(vn\right)\\sinx+cosx+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow...\)

NV
26 tháng 2 2023

b.

ĐKXĐ: \(cosx\ne\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ne\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x\ne-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{\left(2-\sqrt{3}\right)cosx-2sin^2\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)}{2cosx-1}=1\)

\(\Rightarrow\left(2-\sqrt{3}\right)cosx+cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=2cosx\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{3}cosx+sinx=0\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=0\)

\(\Rightarrow x-\dfrac{\pi}{3}=k\pi\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\)

Kết hợp ĐKXĐ \(\Rightarrow x=\dfrac{4\pi}{3}+k2\pi\)

NV
30 tháng 10 2019

\(A=\sqrt{\left(1-cos^2x\right)^2+4cos^2x}+\sqrt{\left(1-sin^2x\right)^2+4sin^2x}\)

\(=\sqrt{cos^4x+2cos^2x+1}+\sqrt{sin^4x+2sin^2x+1}\)

\(=\sqrt{\left(cos^2x+1\right)^2}+\sqrt{\left(sin^2x+1\right)^2}\)

\(=sin^2x+cos^2x+2=3\)

b/

\(3\left(sin^8x-cos^8x\right)=3\left(sin^4x+cos^4x\right)\left(sin^4x-cos^4x\right)\)

\(=3\left(sin^4x+cos^4x\right)\left(sin^2x-cos^2x\right)\)

\(=3sin^6x-3sin^4x.cos^2x+3sin^2x.cos^4x-3cos^6x\)

\(\Rightarrow B=-5sin^6x-3sin^4x.cos^2x+3sin^2x.cos^4x+cos^6x+6sin^4x\)

\(=-5sin^6x-3sin^4x\left(1-sin^2x\right)+3cos^4x\left(1-cos^2x\right)+cos^6x+6sin^4x\)

\(=-2sin^6x-2cos^6x+3sin^4x+3cos^4x\)

\(=-2\left(1-3sin^2x.cos^2x\right)+3\left(1-2sin^2x.cos^2x\right)\)

\(=-2+3=1\)

9 tháng 8 2016

Đặt \(\left|A\right|=\left|mcos\left(x\right)+sin\left(x\right)\right|\)

\(\Rightarrow A^2=\left[m.cos\left(x\right)+1.sin\left(x\right)\right]^2\le\left(m^2+1^2\right)\left[cos^2\left(x\right)+sin^2\left(x\right)\right]\)

\(\Rightarrow A^2\le m^2+1\) (Vì cos2x + sin2x = 1)

\(\Rightarrow\left|A\right|\le\sqrt{m^2+1}\) hay \(\left|mcos\left(x\right)+sin\left(x\right)\right|\le\sqrt{m^2+1}\) (đpcm)

9 tháng 8 2016

thanks bạn nha, trả lời nhanh ghê!!

 

19 tháng 6 2018

1) Bất đẳng thức cần chứng minh

\(\Leftrightarrow\) a2 + b2 + c2 + d2 + \(2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(ac+bd\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\left(1\right)\)

Nếu : ac + bd < 0 : BĐT luôn đúng

Nếu : ac + bd \(\ge\) 0 : Thì (1) tương đương

( ac + bd )2 \(\le\) ( a2 + b2 )( c2 + d2 )

\(\Leftrightarrow\) \(\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+2abcd\le\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2-2abcd\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad-bc\right)^2\ge0\) , luôn đúng , vậy bài toán được chứng minh

19 tháng 6 2018

2) Chọn :\(\left\{{}\begin{matrix}a=2\cos x.\cos y\\c=2\sin x.\sin y\\b=d=\sin\left(x-y\right)\end{matrix}\right.\)

Từ câu 1) ta có :

\(\sqrt{4\cos^2x.\cos^2y+\sin^2\left(x-y\right)}+\sqrt{4\sin^2x.\sin^2y+\sin^2\left(x-y\right)}\)

\(\ge\sqrt{\left(2\cos x.\cos y+2\sin x.\sin y\right)^2+\left(2\sin\left(x-y\right)\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{4\cos^2\left(x-y\right)+4\sin^2\left(x-y\right)}=2\)

NV
28 tháng 4 2020

Mẫn Li

Câu 4 nếu bạn ko đánh sai thì người ghi đề sai :D, tử số phải là sinb chứ ko phải sina (đã chứng minh bên trên)

Câu 2b sửa lại thì cm dễ thôi:

\(\frac{cos\left(a+b\right).cos\left(a-b\right)}{sin^2a.sin^2b}=\frac{\frac{1}{2}cos2a+\frac{1}{2}cos2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1-sin^2a-sin^2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1}{sin^2a.sin^2b}-\frac{1}{sin^2a}-\frac{1}{sin^2b}\)

\(=\left(1+cot^2a\right)\left(1+cot^2b\right)-\left(1+cot^2a\right)-\left(1+cot^2b\right)\)

\(=1+cot^2a+cot^2b+cot^2a.cot^2b-2-cot^2a-cot^2b\)

\(=cot^2a.cot^2b-1\)

(từ đầu bằng thứ nhất ra thứ 2 sử dụng ct nhân đôi \(cos2x=1-2sin^2x\))

28 tháng 4 2020

Rất xin lỗi bạn!
Câu 2b do mình đánh sai dấu phải là \(\frac{cos\left(a+b\right)\times cos\left(a-b\right)}{sin^2a\times sin^2b}=cot^2a\times cot^2b-1\)
Câu 3 mình cũng đánh sai luôn:

\(sin\frac{A}{2}=cos\frac{B}{2}\times cos\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2}\times sin\frac{B}{2}\)

Còn câu 4 thì mình ko có đánh sai! Thành thật xin lỗi bạn! Mình sẽ khắc phục sự cố này!

NV
14 tháng 4 2019

a/

\(\frac{1}{sinx}+\frac{cosx}{sinx}=\frac{1+cosx}{sinx}=\frac{1+2cos^2\frac{x}{2}-1}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=\frac{2cos^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=\frac{cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}=cot\frac{x}{2}\)

b/

\(\frac{1-cosx}{sinx}=\frac{1-\left(1-2sin^2\frac{x}{2}\right)}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}=tan\frac{x}{2}\)

c/

\(tan\frac{x}{2}\left(\frac{1}{cosx}+1\right)=\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)\left(\frac{1}{cosx}+1\right)=\frac{\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)}{sinx.cosx}=\frac{1-cos^2x}{sinx.cosx}\)

\(=\frac{sin^2x}{sinx.cosx}=\frac{sinx}{cosx}=tanx\)

d/

\(\frac{sin2a}{2cosa\left(1+cosa\right)}=\frac{2sina.cosa}{2cosa\left(1+2cos^2\frac{a}{2}-1\right)}=\frac{sina}{2cos^2\frac{a}{2}}=\frac{2sin\frac{a}{2}cos\frac{a}{2}}{2cos^2\frac{a}{2}}=tan\frac{a}{2}\)

e/

\(cotx+tan\frac{x}{2}=\frac{cosx}{sin}+\frac{1-cosx}{sinx}=\frac{cosx+1-cosx}{sinx}=\frac{1}{sinx}\)

Các câu c, e đều sử dụng kết quả từ câu b

NV
14 tháng 4 2019

f/

\(3-4cos2x+cos4x=3-4cos2x+2cos^22x-1\)

\(=2cos^22x-4cos2x+2=2\left(cos^22x-2cos2x+1\right)\)

\(=2\left(cos2x-1\right)^2=2\left(1-2sin^2x-1\right)^2\)

\(=2.\left(-2sin^2x\right)^2=8sin^4x\)

g/

\(\frac{1-cosx}{sinx}=\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{sin^2x}=\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{1-cos^2x}=\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)}=\frac{sinx}{1+cosx}\)

h/

\(sinx+cosx=\sqrt{2}\left(sinx.\frac{\sqrt{2}}{2}+cosx.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(sinx.cos\frac{\pi}{4}+cosx.sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)

i/

\(sinx-cosx=\sqrt{2}\left(sinx.\frac{\sqrt{2}}{2}-cosx.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(sinx.cos\frac{\pi}{4}-cosx.sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)

j/

\(cosx-sinx=\sqrt{2}\left(cosx.\frac{\sqrt{2}}{2}-sinx\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(cosx.cos\frac{\pi}{4}-sinx.sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)