Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
minh biet lam cau b)
ke phan giac AD , BM vuong goc AD , CN vuong goc AD
sin \(\frac{A}{2}\) =\(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}=\frac{BM+CN}{AB+AC}\)
ma BM\(\le BD,CN\le CD\Rightarrow BM+CN\le BC\)
=> sin \(\frac{A}{2}\le\frac{BC}{AB+AC}\le\frac{a}{b+c}\)
dau = xay ra <=> AD vuong goc BC => AD la duong phan giac ,la duong cao => tam giac ABC can tai A => AB=AC => b=c
tương tự sin \(\frac{B}{2}\le\frac{b}{a+c};sin\frac{C}{2}\le\frac{c}{a+b}\)
=>\(sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{a\cdot b\cdot c}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)
ap dung cosi cjo 2 so duong b+c\(\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ac};a+b\ge2\sqrt{ab}\)
=> \(\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge8abc\)
\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)
dau = xay ra <=> a=b=c hay tam giac ABC deu
Kẻ phân giác AD, BK vuông góc với AD.
\(\sin\frac{\widehat{A}}{2}=\sin BAD\)
Xét tam giác AKB vuông tại K, ta có:
\(\sin BAD=\frac{BK}{AK}\left(1\right)\)
Xét tam giác BKD vuông tại K, ta có:
\(BK\Leftarrow BD\)thay vào (1)
\(\sin BAD\Leftarrow\frac{BD}{AB}\left(2\right)\)
Lại có: \(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\frac{BD}{\left(BD+CD\right)}=\frac{AB}{\left(AB+AC\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{\left(AB+AC\right)}\)
\(\Rightarrow BD=\frac{\left(AB.BC\right)}{\left(AB+AC\right)}\)thay vào (2)
\(\sin BAD\Leftarrow\frac{\left[\frac{\left(AB.BC\right)}{\left(AB+AC\right)}\right]}{AB}\)
\(=\frac{BC}{\left(AB+AC\right)}\left(ĐPCM\right)\)
a) Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o\)
=> Tứ giác BFEC nội tiếp
=> 4 điểm nằm trên một đường tròn
b) Xét 2 tam giác AHE và BHD đồng dạng ( góc. góc)
=> Có tỉ lệ \(\frac{HA}{HB}=\frac{HE}{HD}\)=> HA.HD=HB.HE
c)Vì tứ giác AFDC nội tiếp, EFBC nội tiếp
SUY ra : \(\widehat{ADF}=\widehat{FCE}=\widehat{FBE}\Rightarrow sin\widehat{ADF}=\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\)
Tương tự \(sin\widehat{BED}=\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{AB};sin\widehat{CFE}=\frac{EC}{BC}=\frac{CD}{AC}\)
=> \(\left(sin\widehat{ADF}.sin\widehat{BED}.sin\widehat{CFE}\right)^2=\frac{AF}{AC}.\frac{AE}{AB}.\frac{BF}{BC}.\frac{BD}{AB}.\frac{EC}{BC}.\frac{CD}{AC}\)
=\(\frac{AF.AE.BF.BD.EC.CD}{AC^2.BC^2.AB^2}=\frac{AF.AE.BF.BD.EC.CD}{\left(AE+EC\right)^2.\left(BD+DC\right)^2.\left(AF+FB\right)^2}\le\frac{AF.AE.BF.BD.EC.CD}{4AE.EC.4.\text{BD.DC.4AF}.FB}=\frac{1}{64}\)
=> \(sin\widehat{ADF}.sin\widehat{BED}.sin\widehat{CFE}\le\frac{1}{8}\)
