Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(Ta có: \(\frac{1}{2a+3b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+2\left(b+c\right)}\) Theo Cauchy: \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) => \(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1} {4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\) => \(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{b+c}\right)\) Tương tự: \(\frac{1}{3a+2b+3c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{a+c}\right)\) Và: \(\frac{1}{3a+3b+2c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{a+b}\right)\) => \(P\le\frac{1}{8}\left(\frac{2}{a+b}+\frac{2}{a+c}+\frac{2}{b+c}\right)=\frac{1}{4}.2017\) => Pmax = 2017:4=504,25\)
Ta có: \(\frac{1}{2a+3b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+2\left(b+c\right)}\)
Theo Cauchy: \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
=> \(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\)
=> \(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{b+c}\right)\)
Tương tự: \(\frac{1}{3a+2b+3c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{a+c}\right)\)
Và: \(\frac{1}{3a+3b+2c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{a+b}\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{8}\left(\frac{2}{a+b}+\frac{2}{a+c}+\frac{2}{b+c}\right)=\frac{1}{4}.2017\)
=> Pmax = 2017:4=504,25
Ta có \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\) thì ta có \(x,y,z>0;x+y+z=3\) và
\(\sqrt{\dfrac{a}{3b^2c^2+abc}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{3.\dfrac{1}{y^2z^2}+\dfrac{1}{xyz}}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{3x+yz}{xy^2z^2}}}=\sqrt{\dfrac{y^2z^2}{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Do đó \(T=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
Lại có \(\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}\)
Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng theo vế, ta được \(T\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+x\right)}\) \(+\dfrac{xy}{2\left(z+x\right)}+\dfrac{xy}{2\left(z+y\right)}\)
\(T\le\dfrac{yz+zx}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{xy+zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{xy+yz}{2\left(z+x\right)}\)
\(T\le\dfrac{x+y+z}{2}\) (do \(x+y+z=3\))
\(T\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(maxT=\dfrac{3}{2}\), xảy ra khi \(a=b=c=1\)
(Mình muốn gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Đức Trí vì ý tưởng của bài này chính là bài mình vừa hỏi lúc nãy trên diễn đàn. Cảm ơn bạn Trí rất nhiều vì đã giúp mình có được lời giải này.)
Bạn Lê Song Phương xem lại dùm nhé, thanks!
\(...\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\)
\(...\Rightarrow T\le2.3=6\)
\(\Rightarrow GTLN\left(T\right)=6\left(tạia=b=c=1\right)\)
Dùng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\), với x, y > 0, ta có :
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+2}=\frac{4}{3}\)(*)
Nhân hai vế của (*) với a2 > 0, ta được : \(\frac{a^2}{a+1}+\frac{a^2}{b+1}\ge\frac{4}{3}a^2\)(1)
Tương tự \(\frac{b^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\ge\frac{4}{3}b^2\) (2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta được : \(2\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\right)\ge\frac{4}{3}\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\ge\frac{2}{3}\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow3\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\right)\ge2\left(a^2+b^2\right)\) , mà \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\Rightarrow A\ge1\)
Dấu = xảy ra khi a = b = 1/2
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)và \(x+y\ge2.\sqrt{xy}\)( dấu ''='' xảy ra ở 2 bđt này khi x=y )
Ta có \(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{2}{a+b}=\frac{6}{a+b}\)
\(=\frac{6}{a+b}+\frac{3\left(a+b\right)}{2}-\frac{3.\left(a+b\right)}{2}\ge2\sqrt{\frac{6}{a+b}.\frac{3\left(a+b\right)}{2}}-\frac{3.2.\sqrt{ab}}{2}\)
\(=2\sqrt{9}-3.\sqrt{ab}=6-3=3\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{6}{a+b}=\frac{3.\left(a+b\right)}{2}\\a=b\\a.b=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{6}{2a}=\frac{3.2a}{2}\\a=b\\a.b=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}12a^2=12\\a=b\\a.b=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a=b=1\)
Ta thấy \(ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}=1\) và \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\). Áp dụng BĐT B.C.S, ta được \(P=\dfrac{a^4}{ba^2+a^2}+\dfrac{b^4}{ab^2+b^2}\) \(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{ba^2+ab^2+a^2+b^2}=\dfrac{2^2}{ab\left(a+b\right)+2}\ge\dfrac{4}{1.2+2}=1\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy GTNN của P là 1 khi \(a=b=1\)
ffff5ytttr676879763