Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
BĐT <=> \(\sqrt{\frac{x+yz}{xyz}}+\sqrt{\frac{y+xz}{xyz}}+\sqrt{\frac{z+xy}{xyz}}\ge1+\sqrt{\frac{1}{xy}}+\sqrt{\frac{1}{yz}}+\sqrt{\frac{1}{xz}}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)
Khi đó \(a+b+c=1\)
BĐT <=>\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
Ta có \(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}=a+\sqrt{bc}\)
Khi đó \(VT\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=VP\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=3
BĐT cho tương đương với
\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Với \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z};a+b+c=1\)
Ta có:
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}\)
\(=\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}\ge\sqrt{a^2+2a\sqrt{bc}+bc}=a+\sqrt{bc}\)
Tương tự
\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca};\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
Từ đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=3
Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow xy+yz+zx=xyz\)
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
Bình phương vế trái :
\(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\)
\(=\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)+2\left(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\right)\)Bình phương vế phải :
\(\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2=\left(xyz+x+y+z\right)+2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
Suy ra cần phải chứng minh : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)(*)
Thật vậy, theo bđt Bunhiacopxki ta có : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}\)
\(\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{yz}+x\sqrt{yz}\)
\(\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\sqrt{xz}+y\sqrt{xz}\)
Cộng các bđt trên theo vế ta chứng minh được (*) đúng.
Vậy bđt ban đầu được chứng minh.
Ý tưởng khác
Cũng từ giả thiết suy ra \(xyz=xy+yz+xz\)
Suy ra \(\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{x^2+xyz}{x}}=\sqrt{\frac{x^2+xy+yz+xz}{x}}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\) do đó:
\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{x}=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại \(\sqrt{y+xz}\ge\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}};\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT được \(VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xy+yz+xz}{\sqrt{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\) (Đpcm)
Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
Khi đó BĐT <=>
\(\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+...\right)\)
<=> \(\frac{x+y+z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\right)^3\)
<=>\(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}\right)^3\)
<=> \(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\right)^3\)(1)
Xét \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)
<=> \(9\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\right]\ge8\left(xy\left(x+y\right)+xz\left(x+z\right)+yz\left(y+z\right)+3xyz\right)\)
<=> \(xy\left(y+x\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\ge6xyz\)
<=> \(x\left(y-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2+y\left(x-z\right)^2\ge0\)luôn đúng
Khi đó (1) <=>
\(\left(x+y+z\right).\frac{2\sqrt{2}}{3}.\sqrt{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+....\right)^3\)
<=> \(\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\)
Áp dụng buniacopxki cho vế phải ta có
\(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(3-xy-yz-xz\right)}\)
\(=\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\)
=> BĐT được CM
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Đặt \(A=\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\)
Ta có:
\(x^2+xy+yz+zx=x+xyz=x\left(x+yz\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x\left(x+yz\right)}{x}=\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}\)
\(\Leftrightarrow x+yz=\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}=\frac{\left(x^2+xy\right)+\left(yz+zx\right)}{x}=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{x}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\)
Vì x, y, z >0 nên áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 số dương, ta được:
\(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(\sqrt{x^2}.+\sqrt{yz}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}\)
Do đó \(\sqrt{x+yz}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\sqrt{y+xz}\ge\frac{y+\sqrt{xz}}{\sqrt{y}}\left(2\right)\)
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\sqrt{z+xy}\ge\frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}\left(3\right)\)
Từ (1), (2) và (3), ta được:
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\)\(\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}+\frac{y+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}}+\frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{yz+zx+xy}{\sqrt{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xyz}{\sqrt{xyz}}\)(vì \(xy+yz+zx=xyz\))
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\xy+yz+zx=xyz\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=3\)
Vậy với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx =xyz thì:
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\).
\(\)
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
cmr \(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3}=3xy\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)
Hoàn toàn tương tự :
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\sqrt{\frac{3}{yz}};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\sqrt{\frac{3}{xz}}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức và thu lại ta được :
\(VT\ge\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{xz}}\ge3\sqrt[6]{\frac{27}{x^2y^2z^2}}=3\sqrt[6]{27}=3\sqrt{3}\)
( Cauchy )
Ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Cách khác nè bạn
Xét bđt phụ \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\left(a,b>0\right)\)
Thật vậy\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng với a,b>0)
Áp dụng ta có \(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{xy}\sqrt{x+y+z}}{xy}=\sqrt{\frac{x+y+z}{xy}}\)
T tự ta có:\(VT\ge\sqrt{x+y+z}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{xy}\right)=\sqrt{x+y+z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3\sqrt{3}\left(xyz=1\left(gt\right)\right)\)
Bạn thiếu giả thiết \(x,y,z>0\) nhé.
Theo giả thiết \(xyz=xy+yz+zx.\) Từ đó ta có\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{x^2+xyz}{x}}=\sqrt{\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}.\)
Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki, \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}.\) Do đó
\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\), hay ta có \(\sqrt{x+yz}\ge\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}.\)
Tương tự ta có hai bất đẳng thức nữa\(\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}},\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\). Cộng cả ba bất đẳng thức lại cho ta
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{zx}{y}}+\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\left(\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{\frac{zx}{y}}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xy+yz+zx}{\sqrt{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}.\) (ĐPCM)
hừm,, dài quá nên hơi " ngán" hi hi