K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

24 tháng 8 2016

Ta có \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.\)

9 tháng 8 2019

<=>  \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

<=> \(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

<=. \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng )

dấu = khi a=b

24 tháng 12 2019

a) \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b\) )

=>đpcm

25 tháng 12 2019

Cô si

\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2c\)

\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2a\)

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)

Cộng lại ta có:

\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrowđpcm\)

31 tháng 10 2017

a)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+ab+b^2}{4}\ge0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}}{4}\ge0\left(đpcm\right)\)

Vậy \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

31 tháng 10 2017

b) Áp dụng Cauchy, ta có:

\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ca}{b}}=2c\)

Tương tự: \(\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge2a\)

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2b\)

Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh rồi rút gọn ta được đpcm.

14 tháng 8 2020

Ta có : \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (1)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(2)

Bất đẳng thức 2 luôn đúng với \(\forall x\),vậy nên bất đẳng thức 1 cũng luôn đúng với mọi x .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a-b\right)^2=0\)

=> a-b=0 => a=b

Vậy BDT \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) xảy ra khi a = b

áp dụng ta có :

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(1\right)\)

\(\frac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\left(2\right)\)

\(\frac{a+c}{2}\ge\sqrt{ca}\) (3)

từ 1,2,3 cộng từng ba bất đẳng thức ta được : \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+b+c+c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Mở rộng kết quả cho 4 số a,b,c,d không âm ta có bất đẳng thức :

\(a+b+c+d\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}\)

Mở rộng kết quả cho 5 số a,b,c,d,e không âm ta có bất đẳng thức :

\(a+b+c+d+e\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{de}+\sqrt{ea}\)

Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng \(\forall a,b\ge0\))

Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b\ge0\)

\(\frac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\forall b,c\ge0\)

\(\frac{c+a}{2}\ge\sqrt{ac}\forall a,c\ge0\)

Do đó: \(\frac{a+b+b+c+c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)(đpcm)

18 tháng 8 2017

1) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(a^2+b^2+2ab\ge4ab\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b

18 tháng 8 2017

2) \(\left(\sqrt{2a}-\sqrt{2b}\right)^2\ge0\)

\(2a-4\sqrt{ab}+2b\ge0\)

\(4a+4b\ge2a+2b+4\sqrt{ab}\)

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b

26 tháng 7 2016

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

<=>\(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

<=>\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

=>dpcm

10 tháng 6 2018

\(\text{a) }\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(1\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2\sqrt{ab}}{2}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge0\left(2\right)\)

BDT (2) luôn đúng \(\forall x\) nên BDT (1) luôn đúng \(\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}=\sqrt{b}\\ \Leftrightarrow a=b\)

Vậy \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) đẳng thức xảy ra khi: \(a=b\)

b) Áp dụng BDT Cô-si có:

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\\ \dfrac{a+c}{2}\ge\sqrt{ac}\\ \dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+c}{2}+\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b+a+c+b+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\\ \Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\)

Vậy \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\) đẳng thức xảy ra khi : \(a=b=c\)

1 tháng 7 2019

b) \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)

Vì BĐT cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT ban đầu luôn đúng

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)

c) \(a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\right)+\left(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đôi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}\)