K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
12 tháng 8 2020

BĐT Cô-si:

\(\sqrt{xy}\le\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)

Bạn tách căn kia ra là nhìn thấy vấn đề:

\(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}=\sqrt{\left(\frac{a}{a+c}\right)\left(\frac{b}{b+c}\right)}\)

12 tháng 8 2020

Bạn giải thích giúp mình chỗ \(\le\frac{1}{2}\) với ạ

25 tháng 5 2018

\(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab=ac+cb+c^2+ab=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

Tương tự : \(a+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right);c+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

\(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\)

áp dụng bất đẳng tức cauchy :

\(\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)

\(\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)

\(\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}\right)\)

cộng vế theo vế 

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{c+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)

dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3

24 tháng 8 2020

Có a+b+c=1 => c=(a+b+c).c=ac+bc+c2

\(\Rightarrow c+ab=ac+bc+c^2+ab=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{\frac{a}{c+b}+\frac{b}{c+b}}{2}\)

Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}a+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\b+ac=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}\\\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}=\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}{2}\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}}{2}\)\(=\frac{\frac{a+c}{a+c}+\frac{c+b}{c+b}+\frac{a+b}{a+b}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

10 tháng 1 2020

tham khảo

https://olm.vn/hoi-dap/detail/106887527253.html

13 tháng 6 2016

Cách 1:

Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)

Tương tự với \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}},\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\)rồi cộng các vế lại với nhau ta sẽ có

\(P\le\frac{3}{2}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy....

13 tháng 6 2016

Trả lời đi huhu

26 tháng 8 2020

Làm đi làm lại nhiều rồi chán không muốn viết nữa vô TKHĐ xem hình ảnh

Hình ảnh có thể có: văn bản

13 tháng 11 2017

\(\sqrt{c+ab}\) =\(\sqrt{c\left(a+b+c\right)+ab}=\sqrt{c^2+ac+cb+ab}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)

\(\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{b+c}\right)\)

ttu \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right);\frac{ac}{\sqrt{b+ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{bc+ac}{2\left(a+b\right)}+\frac{ac+ab}{2\left(a+b\right)}+\frac{bc+ab}{2\left(c+b\right)}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\)

dau = xay ra khi a=b=c=1/3

trả lời 

=1/2

chúc bn

học tốt

NV
13 tháng 6 2021

\(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)

Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right)\) ; \(\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+b}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

1 tháng 9 2021

Cho a, b, c, d là các chữ số thỏa mãn: ab+ca=da ab-ca=a Tìm giá trị của d.

23 tháng 5 2021

Ta có:

sigma \(\frac{ab}{3a+4b+5c}=\) sigma \(\frac{2ab}{5\left(a+b+2c\right)+\left(a+3b\right)}\le\frac{2}{36}\left(sigma\frac{5ab}{a+b+2c}+sigma\frac{ab}{a+3b}\right)\)

Ta đi chứng minh: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{9}{4}\)

có: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(sigma\frac{ab}{c+a}+sigma\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)

BĐT trên đúng nếu: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{9}{4}\)

Ta thấy: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{1}{16}\left(sigma\frac{ab}{a}+sigma\frac{3ab}{b}\right)=\frac{1}{16}\)( sigma \(b+sigma3a\)\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow sigma\frac{ab}{3a+4b+5c}\le\frac{1}{18}\left(5.\frac{9}{4}+\frac{9}{4}\right)=\frac{3}{4}\)(1)

MÀ: \(\frac{1}{\sqrt{ab\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}}=\frac{2}{2\sqrt{\left(ab+2bc\right)\left(ab+2ca\right)}}\ge\frac{2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(=\frac{3}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{9^2}=\frac{1}{27}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow T\le\frac{3}{4}-\frac{1}{27}=\frac{77}{108}\)

Vậy GTLN của biểu thức T là 77/108 <=> a=b=c=3

8 tháng 6 2016

Ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}}{2}\)

\(\frac{ca}{\sqrt{b+ac}}=\frac{ca}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}}{2}\)

\(\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}}{2}\)

Cộng 3 vế ta được: \(P\le\frac{\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}}{2}\)

\(=\frac{\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)

        Vậy  MinP = 1/2 

8 tháng 6 2016

\(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a.1+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\)