K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

20 tháng 10 2019

@Nk>↑@ Vũ Minh Tuấn Băng Băng 2k6 Nguyễn Văn Đạt tth Lê Tài Bảo Châu Aki Tsuki Lê Thị Thục Hiền Nguyễn Thị Diễm Quỳnh HISINOMA KINIMADO

Giúp em vs mn ơi khocroi

20 tháng 10 2019

xin lỗi cơ mà em không làm được bài lớp 10 ạ :(

31 tháng 10 2019

@Akai Haruma

NV
30 tháng 12 2020

1. Đề thiếu

2. BĐT cần chứng minh tương đương:

\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)

3.

Ta có:

\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)

\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Lại có:

\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

NV
30 tháng 12 2020

4.

Ta có:

\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

5.

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)

25 tháng 11 2019

1)

Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\sqrt{2}.\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{2}.\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{2}.\sqrt{c^2+a^2}\right)\)

\(VT\ge\sqrt{2}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\ge\sqrt{2}.\frac{9}{2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(1\right)\)

\(VP\le\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT\ge VP\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=1\)

1 tháng 1 2020

Akai Haruma dạ giúp em bài này vs ạ ...!!!

1 tháng 12 2019

bạn viết sai đề rồi nhé đề đúng là căn(b^2+1/c^2) và căn (c^2 + 1/a^2) ở vế trái chứ ?

Áp dụng BĐT Cô - si, ta có :

\(\left(1.a+\frac{9}{4}.\frac{1}{b}\right)^2\le\left(1^2+\frac{81}{16}\right)\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\ge\frac{4}{\sqrt{97}}\left(a+\frac{9}{4b}\right)\).Chứng minh tương tự, ta có:

\(\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}\ge\frac{4}{\sqrt{97}}\left(b+\frac{9}{4c}\right)\)

\(\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge\frac{4}{\sqrt{97}}\left(c+\frac{4}{9a}\right)\)

Cộng 3 vế BĐT => đpcm

NV
17 tháng 11 2019

\(P=\sum\frac{a^2}{a+b^2}=\sum\left(a-\frac{ab^2}{a+b^2}\right)\ge\sum\left(a-\frac{ab^2}{2b\sqrt{a}}\right)=\sum\left(a-\frac{1}{2}b\sqrt{a}\right)\)

\(P\ge\sum\left(a-\frac{1}{2}\sqrt{b}.\sqrt{ab}\right)\ge\sum\left(a-\frac{1}{4}\left(b+ab\right)\right)\)

\(P\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(ab+bc+ca\right)\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{12}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

17 tháng 11 2019

bạn ơi sao có \(\sqrt{b}.\sqrt{ab}\ge\frac{1}{2}\left(b+ab\right)\) thế

NV
18 tháng 11 2019

\(\Leftrightarrow\sum\frac{2}{a^2+b^2+2}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow\sum\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{3}{2}\)

Ta có: \(\sum\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh \(\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2+\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}+\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+a^2\right)}+\sqrt{\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)}}{a^2+b^2+c^2+3}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}\) (1)

\(\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge ac+b^2\)

\(\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}\ge a^2+bc\) ; \(\sqrt{\left(b^2+c^2\right)\left(a^2+c^2\right)}\ge ab+c^2\)

\(\Rightarrow\sum\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\sum\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng nên ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)