Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho các số thực dương a, b, c. CMR:
\(\dfrac{b+c+5}{a+1}+\dfrac{a+c+4}{b+2}+\dfrac{a+b+3}{c+3}\ge6\)
Lời giải:
Đặt biểu thức vế trái là $A$
Ta có:
\(A+3=\frac{b+c+5}{a+1}+1+\frac{a+c+4}{b+2}+1+\frac{a+b+3}{c+3}+1\)
\(=\frac{a+b+c+6}{a+1}+\frac{a+b+c+6}{b+2}+\frac{a+b+c+6}{c+3}\)
\(=(a+b+c+6)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+3}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz hay (Svac-sơ) ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+3}\geq \frac{9}{a+1+b+2+c+3}=\frac{9}{a+b+c+6}\)
\(\Rightarrow A+3\geq (a+b+c+6).\frac{9}{a+b+c+6}=9\Rightarrow A\geq 6\) (đpcm)
Mình đặt bằng A cho dễ tính nha
A=a/b+a/c+b/c+b/a+c/b+c/a
Áp dụng bst cosi ta có:
a/b+b/a\(\ge\)2√(a.b/b.a)=2
Tươn tự ta chứng minh được
a/c+c/a\(\ge\)2
b/c+c/b\(\ge\)2
Suy ra
A\(\ge\)6
Đặt A=\(\dfrac{b+c+5}{1+a}+\dfrac{c+a+4}{2+b}+\dfrac{a+b+3}{3+c}\)
Ta có :A+3=\(\left(\dfrac{b+c+5}{1+a}+1\right)+\left(\dfrac{c+a+4}{2+b}+1\right)+\left(\dfrac{a+b+3}{3+a}+1\right)\)
=\(\dfrac{a+b+c+6}{1+a}+\dfrac{a+b+c+6}{2+b}+\dfrac{a+b+c+6}{3+c}\)
=\(\left(a+b+c+6\right)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{3+c}\right)\)
=\([\left(a+1\right)+\left(b+2\right)+\left(c+3\right)|\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+3}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)( với x,y,z>0)
Ta có :A+3\(\ge9\)\(\Rightarrow A\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=3,b=2,c=1
