K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

16 tháng 8 2019

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :

\(\frac{x^4}{y^2\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{2x}+\frac{x+z}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^4\cdot y^2\cdot\left(x+z\right)}{y^2\cdot\left(x+z\right)\cdot2x\cdot4}}=3\sqrt[3]{\frac{x^3}{8}}=\frac{3x}{2}\)

Tương tự ta cũng có :

\(\frac{y^4}{z^2\left(x+y\right)}+\frac{z^2}{2y}+\frac{x+y}{4}\ge\frac{3y}{2}\)

\(\frac{z^4}{x^2\left(y+z\right)}+\frac{x^2}{2z}+\frac{y+z}{4}\ge\frac{3z}{2}\)

Cộng theo vế ta được :

\(VT+\left(\frac{y^2}{2x}+\frac{z^2}{2y}+\frac{x^2}{2z}\right)+\frac{2\left(x+y+z\right)}{4}\ge\frac{3x}{2}+\frac{3y}{2}+\frac{3z}{2}\)

\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\left(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{x+y+z}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

16 tháng 8 2019

Hình như bài t bị ngược cmn dấu rồi thì phải :P

5 tháng 1 2021
Bạn tham khảo lời giải của tớ nha!

Bài tập Tất cả

17 tháng 11 2017

@Ace Legona help me

20 tháng 11 2017

@Akai Haruma

BĐT \(\Leftrightarrow\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}\le1+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+1\)

Xét BĐT tổng quát : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng )

Nên \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Khi đó ta có BĐT trên đúng.

@ Em không chắc vì em mới đọc cái này ạ, có gì sai mn chỉ ạ !

29 tháng 12 2019

ok cảm ơn ạ

8 tháng 3 2019

\(VT=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)

\(=2+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\)

Bài toán trở thành \(\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\ge\frac{x+y+z}{3\sqrt{xyz}}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{z}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{xyz}}=\frac{3z}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Tương tự:

\(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{y}{y}\ge\frac{3y}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+\frac{x}{x}\ge\frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Leftrightarrow VT+3\ge3+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Is it true?