Question

[Cao Văn Hào]

cho f(x) = (2+x)¹⁰⁰⁰ = a_o + a₁x + a₂x² + ....+ a₁₀₀₀x¹⁰⁰⁰. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Số hạng tổng quát trong khai triển: \(C_n^k2^kx^{n-k}\) với \(n=1000\)

Hệ số của số hạng thứ k là: \(C_n^k2^k\)

Hệ số này là lớn nhất khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}C_n^k2^k\ge C_n^{k+1}2^{k+1}\\C_n^k2^k\ge C_n^{k-1}2^{k-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\ge\frac{n!.2}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!}\\\frac{n!.2}{k!\left(n-k\right)!}\ge\frac{n!}{\left(k-1\right)!\left(n-k+1\right)!}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k+1\ge2\left(n-k\right)\\2\left(n-k+1\right)\ge k\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k\ge\frac{2n-1}{3}=\frac{1999}{3}\\k\le\frac{2n+2}{3}=\frac{2002}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow k=667\)

Vậy hệ số lớn nhất là \(C_{100}^{667}2^{667}\)