Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
oh no bài thứ nhất là dạng chứng minh cs đúng ko ,
ko thể nào là dạng tìm a,b,c đc-.-
*Tìm min:
\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{1}{1-a}-1+\dfrac{1}{1-b}-1\)
\(\ge\dfrac{4}{\left(1-a\right)+\left(1-b\right)}-2\)
\(=\dfrac{4}{2-\dfrac{1}{2}}-2=\dfrac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\). Do đó minP=2/3
*Tìm max: \(a,b\ge0\)
\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{a-ab+b-ab}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{1-\left(a+b\right)+ab}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{\dfrac{1}{2}+ab}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2\left(\dfrac{1}{2}+ab\right)}{\dfrac{1}{2}+ab}\)
\(=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}+ab}-2\le\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}-2=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\dfrac{1}{2}\right),\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)
Vậy maxP=1
a) x2 + 1 ≤ (x - 2)2 ⇔ x2 + 1 ≤ x2 - 4x + 4 ⇔ 4x ≤ 3
⇔ x ≤ 3/4
Vậy: x ≤ 3/4
b) a, b > 0
Ta có: a + b = 1 suy ra: (a + b)2 = 1 ⇒ a2 + 2ab + b2 = 1 (1)
Mặt khác (a - b)2 ≥ 0 với mọi a, b ⇒ a2 - 2ab + b2 ≥ 0 (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được:
2a2 + 2b2 ≥ 1 ⇒ 2(a2 + b2) ≥ 1 ⇒ a2 + b2 ≥ 1/2
Từ giả thiết:
\(a^2=2\left(b^2+c^2\right)\ge\left(b+c\right)^2\Rightarrow\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2\ge1\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}\ge1\)
\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)+2bc}\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)+\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)^2}\)
\(P\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{1}{\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{1}{2}}\)
Đặt \(\dfrac{a}{b+c}=x\ge1\)
\(\Rightarrow P\ge x+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{4}{9}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{5}{9}x-\dfrac{2}{9}\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{4}{9}\left(x+\dfrac{1}{2}\right).\dfrac{1}{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}}+\dfrac{5}{9}.1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{5}{3}\)
\(P_{min}=\dfrac{5}{3}\) khi \(x=1\) hay \(a=2b=2c\)
cho hai số a, b thoả mãn a^2+b^2=1. tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=a^6+b^6
Ta có
A = a6 + b6 = (a2 + b2)(a4 - a2 b2 + b4)
= a4 - a2 b2 + b4 = (a2 + b2)2 - 3a2b2 = 1 - 3a2 b2 (1)
Ta lại có
1 = a2 + b2 \(\ge\)2ab
\(\Rightarrow ab\le\frac{1}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) =>A \(\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
Đạt được khi a2 = b2 = 0,5
Giá trị lớn nhất không có
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le1\)
\(\Rightarrow P_{max}=1\) khi \(a=b=c\)
Lại có:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=-\dfrac{1}{2}\)
\(P_{min}=-\dfrac{1}{2}\) khi \(a+b+c=0\)
*) \(MinA\) :
Ta thấy: a,b,c đều là các số thực không âm.
Do đó : \(A\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=0,c=1\) và các hoán vị.
\(*)MaxA\) :
Giả sử \(a\ge b\ge c\) \(\Rightarrow3a\ge a+b+c=1\)
\(\Rightarrow1-3a\le0\)
Ta có : \(A=a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)
\(=a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+3abc-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)
\(=ab+bc+ca-3abc\)
\(=a\left(b+c\right)+bc\left(1-3a\right)\) \(\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}+0\) ( do \(1-3a\le0\) ) \(=\frac{1}{4}\)
hay \(A\le\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2},c=0\) và các hoán vị.
\(\)
\(a+b\ge a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\)
\(\Rightarrow2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le1\)
Xét \(Q=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}=\dfrac{a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{a+b+2ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)
\(Q=\dfrac{a+b+ab+ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\le\dfrac{a+b+ab+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=1\)
\(\Rightarrow P\le2020+1^{2021}=2021\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)