K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
12 tháng 1

a.

DO ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{ACD}=45^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{EBN}\)

Mà \(\widehat{ACD}\) và \(\widehat{EBN}\) cùng chắn EN

\(\Rightarrow\) Tứ giác BENC nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BEN}+\widehat{BCN}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BEN}=180^0-\widehat{BCN}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow NE\perp BM\) tại E

b.

Tương tự ta có tứ giác ABFM nội tiếp (\(\widehat{MAF}=\widehat{MBF}=45^0\) cùng chắn MF)

\(\Rightarrow\widehat{BFM}+\widehat{BAM}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BFM}=90^0\Rightarrow MF\perp BN\)

\(\Rightarrow I\) là trực tâm của tam giác BMN

\(\Rightarrow BI\perp MN\)

NV
12 tháng 1

c.

Gọi H là giao điểm BI và MN

Do E và F cùng nhìn MN dưới 1 góc vuông 

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFMN nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{EMN}+\widehat{EFN}=180^0\)

Mà \(\widehat{EFN}+\widehat{EFB}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EMN}=\widehat{EFB}\)

Lại có tứ giác ABFM nội tiếp (A và F cùng nhìn BM dưới 1 góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{EFB}=\widehat{AMB}\) (cùng chắn AB)

\(\Rightarrow\widehat{EMN}=\widehat{AMB}\)

\(\Rightarrow\Delta_VAMB=\Delta_VHMB\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow AM=HM\)

Đồng thời suy ra \(AB=BH\Rightarrow BH=BC\) (do AB=BC)

Theo Pitago: \(\left\{{}\begin{matrix}HN=\sqrt{BN^2-BH^2}\\CN=\sqrt{BN^2-BC^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CN=HN\)

\(\Rightarrow AM+CN=MH+NH=MN\)

\(\Rightarrow MD+DN+MN=MD+DN+AM+CN=AD+CD=2a\)

Pitago: \(MN^2=DM^2+DN^2\ge\dfrac{1}{2}\left(DM+DN\right)^2\Rightarrow MN\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(DM+DN\right)\)

\(\Rightarrow2a-\left(DM+DN\right)\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(DM+DN\right)\)

\(\Rightarrow2a\ge\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)\left(DM+DN\right)\ge\left(2+\sqrt{2}\right).\sqrt{DM.DN}\)

\(\Rightarrow DM.DN\le\left(6-4\sqrt{2}\right)a^2\)

\(\Rightarrow S_{MDN}=\dfrac{1}{2}DM.DN\le\left(3-2\sqrt{2}\right)a^2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(DM=DN=\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)a\)

19 tháng 2 2021

A B C D M N E F I
 

Vì: FBM=FAM=45 độ nên BFMA là tứ giác nội tiếp

tương tự có đpcm

b, ta có: 

MFN=DAB=90

NEM=BCD=90

=> nội tiếp

c, theo câu b ta có: 

MNB=BEC=BNC nên: NB là phân giác góc INC

thấy ngay H là trực tâm tam giác BMN nên: BI vuông góc MN 

do đó áp dụng tính chất đường phân giác ta được BI=BC=a.

24 tháng 2 2021

Chứng minh góc EBN = góc ECN = 450

=> Tứ giác BENC nội tiếp (đpcm)

 

6 tháng 6 2018

chịu thôi????????????????????????????

2 tháng 5 2018

Mình bổ sung thêm :

\(\widehat{AKD}=67,5^o\Rightarrow\widehat{DAK}=22,5^o\)(Do \(\Delta ADK\)vuông tại D) (3)

\(\Delta AKH\)cân tại A (cmt) => AE vừa là đường cao đồng thời là đường trung trực của cạnh HK và là đường phân giác của \(\widehat{KAH}\)=> \(\widehat{EAK}=\widehat{EAH}=\frac{45^o}{2}=22,5^o\)(4)

Mặt khác CA là đường phân giác của \(\widehat{HCK}\)(Do ABCD là hình vuông) => CA là đường trung trực của cạnh HK (\(\Delta CHK\)vuông cân tại C (cmt)) . Hơn thế nữa, AE cũng là đường trung trực của cạnh HK (cmt) => A, E, C là 3 điểm thẳng hàng (5)

Từ (3), (4) và (5) => K là chân đường phân giác của \(\widehat{CAD}\)(K \(\in CD\))

cmtt : H là chân đường phân giác của \(\widehat{BAC}\)(H \(\in BC\))

2 tháng 5 2018

a. DB là đường chéo của hình vuông ABCD => \(\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=\widehat{KDM}=45^o\)(t/c) 

Xét tứ giác AMKD ta có: \(\widehat{KDM}=\widehat{KAM}=\widehat{KAH}=45^o\)=> tứ giác AMKD nội tiếp (Dấu hiệu nhận biết: "đỉnh kề nhau của 1 tứ giác cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp")

=> \(\widehat{ADK}+\widehat{AMK}=180^o\)(Hệ quả)

ABCD là hình vuông => \(\widehat{ADK}=90^o\)=> \(\widehat{AMK}=90^o\)=> KM \(\perp AH\)(ĐPCM)

b. Chứng minh tương tự câu a ta có: ANHB là tứ giác nội tiếp và HN \(\perp AK\)

Xét \(\Delta AHK\)có: HN và KM lần lượt là 2 đường cao hạ từ đỉnh H và K và E là giao điểm của HN và KM (gt) => E là trực tâm của \(\Delta AHK\)(dhnb) => AE là đường cao thứ 3 của \(\Delta AHK\)=> AE \(\perp\)HK (đpcm)

c. \(S\Delta CHK=\frac{1}{2}CH.CK\)

\(S\Delta CHKmax\)<=> CH.CK max 

Do CH, CK >0 => CH.CK \(\le\frac{CH^2+CK^2}{2}\)=> CH.CK max = \(\frac{CH^2+CK^2}{2}\).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi CH = CK 

=> BH = DK (Do BC = DC (cạnh hình vuông) và CH = CK )

Xét \(\Delta ADK\)VÀ \(\Delta ABH\)có:

AD = AB (vì ABCD là hình vuông)

\(\widehat{ADK}=\widehat{ABH}\)(\(=90^o\)

DK = BH (cmt)

=> \(\Delta ADK=\Delta ABH\)(c.g.c) => AK = AH => \(\Delta AKH\)cân tại A (Định nghĩa) => \(\widehat{AKH}=\widehat{AHK}=\frac{180^o-45^o}{2}=67,5^o\)

Xét \(\Delta CHKcó\) CH = CK => \(\Delta CHK\)vuông cân tại C => \(\widehat{CKH}=\widehat{CHK}=45^o\)

Mặt khác: \(\widehat{AKD}+\widehat{AKH}+\widehat{CKH}=180^o\)=> \(\widehat{AKD}=67,5^o\)

Xét \(\Delta ADK\)vuông tại D có: DK = AK. cos \(\widehat{AKD}\)=> AK = a. cos \(67,5^o\)=> CK = CD - DK = a - a. cos \(67,5^o\)=CH 

=a. (1 - cos\(67,5^o\)) (1)

=> S\(\Delta CHK\)max = \(\frac{1}{2}.\frac{CH^2+CK^2}{2}\)(2)

Thay (1) vào (2) => Kết quả

23 tháng 8 2017

giúp mình nhanh nha mình đang cần gấp

nhanh mk cho

22 tháng 2 2018

A B C D E F N

a) Xét tam giác vuông ABC, theo Pitago ta có: \(NC^2=NB^2+BC^2=x^2+a^2\)

Xét tam giác vuông NCF, chiều cao CB: Áp dụng hệ thức lượng ta có : \(NF=\frac{NC^2}{NB}=\frac{x^2+a^2}{x}\)

AN = a - x ; \(\frac{EA}{BC}=\frac{AN}{NB}\Rightarrow EA=\frac{a-x}{x}.a=\frac{a^2-ax}{x}\)

\(AF=AN+NF=a-x+\frac{a^2+x^2}{x}=\frac{ax+a^2}{x}\)

Vậy nên \(S_{ACEF}=S_{EAF}+S_{CAF}=\frac{1}{2}.AF.EA+\frac{1}{2}AF.BC\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{ax+a^2}{x}.\left(\frac{a^2-ax}{x}+a\right)=\frac{1}{2}.\frac{ax+a^2}{x}.\frac{a^2}{x}=\frac{a^4+a^3x}{2x^2}\left(đvdt\right)\)

b) Ta có \(\frac{a^4+a^3x}{2x^2}=3a^2\Rightarrow a^2+ax-6x^2=0\)

\(\Rightarrow\left(a-2x\right)\left(a+3x\right)=0\)

Do a, x > 0 nên a = 2x hay N là trung điểm AB.