Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề viết sai, cosA/2 không phải cos1/2.
Gọi D là chân đường phân giác góc A, ta có:
\(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}bc.sinA=\dfrac{1}{2}l_a.c.sin\dfrac{A}{2}+\dfrac{1}{2}l_a.b.sin\dfrac{A}{2}\)
\(\Leftrightarrow bc.sinA=l_a\left(b+c\right)sin\dfrac{A}{2}\)
\(\Leftrightarrow l_a=\dfrac{2bc.cos\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{A}{2}}{\left(b+c\right)sin\dfrac{A}{2}}=\dfrac{2bc.cos\dfrac{A}{2}}{b+c}\)
a)Có \(b^2+c^2-a^2=cosA.2bc\)
\(S=\dfrac{1}{2}bc.sinA\)\(\Rightarrow4S=2bc.sinA\)
\(\Rightarrow\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}=\dfrac{cosA.2bc}{2bc.sinA}=cotA\) (dpcm)
b) CM tương tự câu a \(\Rightarrow\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}=\dfrac{cosB.2ac}{2ac.sinB}=cotB\); \(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\dfrac{cosC.2ab}{2ab.sinC}=cotC\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow cotA+cotB+cotC=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}\)\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}\) (dpcm)
c) Gọi ma;mb;mc là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A;B;C của tam giác ABC
Có \(GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{4}{9}\left(m_a^2+m_b^2+m_b^2\right)\)\(=\dfrac{4}{9}\left[\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}+\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}+\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\right]\)
\(=\dfrac{4}{9}.\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\) (đpcm)
d) Có \(a\left(b.cosC-c.cosB\right)=ab.cosC-ac.cosB\)
\(=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}-\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}\)
\(=b^2-c^2\) (dpcm)
a) ? = x vì \(\cos A = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{x}{b} \Rightarrow ? = x.\)
b) Xét tam giác vuông BCD, ta có: \({a^2} = {d^2} + {(c + x)^2} = {d^2} + {x^2} + {c^2} + 2xc\) (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: \({b^2} = {d^2} + {x^2} \Rightarrow {d^2} = {b^2} - {x^2}\) (2)
\(\cos A = - \cos \widehat {DAC} = - \frac{x}{b} \Rightarrow x = - b\cos A.\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
c) Ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Mà \(\widehat A = {90^o} \Rightarrow \cos A = \cos {90^o} = 0.\)
\( \Rightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}\)
\(a.\left(c.cosC-b.cosB\right)=a.\left(c.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-b.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{3ac}\right)\)
\(=\dfrac{\left(a^2+b^2-c^2\right)c^2}{2bc}-\dfrac{\left(a^2+c^2-b^2\right)b^2}{2bc}\)
\(=\dfrac{\left(b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)}{2bc}=\left(b^2-c^2\right)cosA\)
a) Ta có:
\(\widehat{A}=180^o-60^o-45^o=75^o\)
Áp dụng định lý sin ta có:
\(\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AC}{sinB}\)
\(\Rightarrow AC=\dfrac{BC\cdot sinB}{sinA}\)
\(\Rightarrow AC=\dfrac{a\cdot sin60^o}{sin75^o}=a\cdot\dfrac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\)
\(\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AB}{sinC}\)
\(\Rightarrow AB=\dfrac{BC\cdot sinC}{sinA}\)
\(\Rightarrow AB=\dfrac{a\cdot sin45^o}{sin75^o}=a\cdot\left(\sqrt{3}-1\right)\)
b) \(cos75^o\)
\(=cos\left(30^o+45^o\right)\)
\(=cos30^o\cdot cos45^o-sin30^o\cdot sin45^o\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\left(dpcm\right)\)
