Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a;b;c>0\end{matrix}\right.\)
Và \(\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}+\dfrac{bc}{\sqrt{b^2+c^2+2a^2}}+\dfrac{ca}{\sqrt{c^2+a^2+2b^2}}\le\dfrac{1}{2}\)
Ta có:\(\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}=\dfrac{2ab}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(a^2+b^2+2c^2\right)}}\)
\(\le\dfrac{2ab}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab+bc}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c}+\dfrac{bc+ac}{a+b}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=y=z=\dfrac{1}{9}\)
Lời giải:
Ta có: \(x+y+z=xyz\Rightarrow x(x+y+z)=x^2yz\)
\(\Rightarrow x(x+y+z)+yz=x^2yz+yz\)
\(\Rightarrow (x+y)(x+z)=yz(x^2+1)\)
Do đó: \(\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{1+\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{yz}}}{x}\leq \frac{1+\frac{1}{2}(\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z})}{x}\) theo BĐT AM-GM:
Thực hiện tương tự với các phân thức khác ta suy ra:
\(\text{VT}\leq \frac{1+\frac{1}{2}(\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z})}{x}+\frac{1+\frac{1}{2}(\frac{y+z}{z}+\frac{y+x}{x})}{y}+\frac{1+\frac{1}{2}(\frac{z+x}{x}+\frac{z+y}{y})}{z}\)
\(\text{VT}\leq 3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3(xy+yz+xz)}{xyz}\)
Mà theo AM-GM:
\(\frac{3(xy+yz+xz)}{xyz}\leq \frac{(x+y+z)^2}{xyz}=\frac{(xyz)^2}{xyz}=xyz\)
Do đó: \(\text{VT}\leq xyz\)
Ta có đpcm.
Giả thiết thiếu rồi em, chỗ \(\dfrac{1}{x+1}+...\) thiếu đoạn sau nữa
Đặt \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}};\dfrac{1}{\sqrt{y}};\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}=1\)
Ta cần chứng minh: \(ab+bc+ca\le\dfrac{3}{2}\)
Thật vậy, ta có:
\(1=\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a;b;c>0\end{cases}}\)
Và \(\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}+\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2+2a^2}}+\frac{ca}{\sqrt{c^2+a^2+2b^2}}\le\frac{1}{2}\)
Ta có :
\(\frac{ab}{a^2+b^2+2c^2}=\frac{2ab}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(a^2+b^2+2c^2\right)}}\)
\(\le\frac{2ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại roouf cộng theo vế :
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{9}\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(\frac{ax+by+cz}{xy}=z\Rightarrow z=\frac{a}{y}+\frac{b}{x}+\frac{cz}{xy}>\frac{a}{y}+\frac{b}{x}\)
Tương tự có \(y>\frac{a}{z}+\frac{c}{x}\); \(x>\frac{b}{z}+\frac{c}{y}\)
\(\Rightarrow x+y+z>\frac{b+c}{x}+\frac{a+c}{y}+\frac{a+b}{z}=\frac{b+c}{x}+x+\frac{a+c}{y}+y+\frac{a+b}{z}+z-x-y-z\)
\(\Rightarrow2\left(x+y+z\right)>2\sqrt{b+c}+2\sqrt{a+c}+2\sqrt{a+b}\)
\(\Rightarrow x+y+z>\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
Ta có:\(\frac{4+4\sqrt{1+x^2}}{4x}\le\frac{4+5+x^2}{4x}=\)\(\frac{x^2+9}{4x}\)Tương tự ta đc P\(\le\frac{x+y+z}{4}+\frac{9}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4}\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)\)\(\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4}\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)}\)\(=x+y+z\)
Dấu '='xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}x+y+z=xyz\\x=y=z\end{cases}\Rightarrow x=y=z=}\)\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Đặt \(\dfrac{1}{x+1}=a,\dfrac{1}{y+1}=b,\dfrac{1}{z+1}=c\Rightarrow a,b,c>0;a+b+c=1.\)
\(x=\dfrac{1}{a}-1\)
Cần chứng minh: \(\sum\sqrt{\dfrac{1}{a}-1}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}-1\right)\left(\dfrac{1}{b}-1\right)\left(\dfrac{1}{c}-1\right)}\)
Hay \(\sum\sqrt{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+b+c}}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{\prod\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+b+c}\right)}\)
Hay là \(\sum\sqrt{\dfrac{b+c}{a\left(a+b+c\right)}}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{\prod\dfrac{\left(b+c\right)}{a\left(a+b+c\right)}}\)
Tương đương: \(\sum\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{\prod\dfrac{\left(b+c\right)}{a}}\)
\(\left[\sum\left(b+c\right)\left\{a+2\left(b+c\right)\right\}\right]\left[\sum\dfrac{1}{a\left\{a+2\left(b+c\right)\right\}}\right]\ge\left[\sum\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}\right]^2\)
Từ đây cần chứng minh:
\(\dfrac{9}{4}\prod\dfrac{\left(b+c\right)}{a}\ge\left[\sum\left(b+c\right)\left\{a+2\left(b+c\right)\right\}\right]\left[\sum\dfrac{1}{a\left\{a+2\left(b+c\right)\right\}}\right]\)
Còn lại bạn tự làm hoặc không để tối rảnh mình làm.
Do hoc24.vn không cho cập nhật câu trả lời nữa nên mình đăng tiếp:
Thực hiện thay thế \(\left(a,b,c\right)\rightarrow\left(s-a',s-b',s-c'\right)\) với $a',b',c'$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}a' + b' + c' = 2s\\a'b' + b'c' + c'a' = {s^2} + 4Rr + {r^2}\\a'b'c' = 4sRr\end{array} \right.$
Bất đẳng thức quy về:
$${\dfrac { \left( 4\,R-24\,r \right) {s}^{4}+r \left( 72\,{R}^{2}+41\,Rr+8\,{r}^{2} \right) {s}^{2}+2\,{r}^{2} \left( 4\,R+r \right) ^{3}}{r{s}^{2} \left( 4\,{s}^{2}+r \left( 8\,R+r \right) \right) }}\geqslant 0$$
\( \Leftrightarrow \left( {4{\mkern 1mu} R - 24{\mkern 1mu} r} \right){s^4} + r\left( {72{\mkern 1mu} {R^2} + 41{\mkern 1mu} Rr + 8{\mkern 1mu} {r^2}} \right){s^2} + 2{\mkern 1mu} {r^2}{\left( {4{\mkern 1mu} R + r} \right)^3} \geqslant 0\)
Hay là \({s^2}\left( {R - 2{\mkern 1mu} r} \right)\left( {9{\mkern 1mu} {r^2} + 4{\mkern 1mu} {s^2}} \right) + r\left[ {10{\mkern 1mu} {s^2}\left( {4{\mkern 1mu} {R^2} + 4{\mkern 1mu} Rr + 3{\mkern 1mu} {r^2} - {s^2}} \right) + \left( {8{\mkern 1mu} Rr + 2{\mkern 1mu} {r^2} + 2{\mkern 1mu} {s^2}} \right)\left( {16{\mkern 1mu} {R^2} + 8{\mkern 1mu} Rr + {r^2} - 3{\mkern 1mu} {s^2}} \right)} \right] \geqslant 0\)
Đây là điều hiển nhiên.
Ngoài ra phương pháp SOS, SS cũng có thể sử dụng ở đây.