K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

1 tháng 10 2021

Gọi \(A=\sum\dfrac{x^3}{\sqrt{y^2+3}}\)

Theo Holder: \(A.A.\left(\left(y^2+3\right)+\left(z^2+3\right)+\left(x^2+3\right)\right)\ge\left(x^3+y^3+z^3\right)^3\)

\(\Rightarrow A^2\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{x^2+y^2+z^2+9}\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2+xy+yz+zx}\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

Ta có đánh giá sau: \(x^3+y^3+z^3\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\)

\(\Rightarrow A^2\ge\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{9}}{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\dfrac{x+y+z}{12}\ge\dfrac{\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}}{12}\ge\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{2}\)

9 tháng 1 2018

Bài này cũng dễ mà:

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

\(y+z+1\ge3\sqrt[3]{yz}\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{y+z+1}{3}\ge\sqrt[3]{yz}\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{3x}{y+z+1}\)

\(\Rightarrow\)\(\sum\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\sum\dfrac{3x}{y+z+1}\)

\(\sum\dfrac{3x}{y+z+1}=\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\)

Áp dụng BĐT Cauchy -Schwaz:

\(\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)

Mà:

\(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)(BĐT phụ)

\(\Rightarrow\)\(2\left(xy+yz+xz\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\)

Áp dụng BĐT Bunhicopski:

\(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\)

\(\Rightarrow x+y+z\le3\)

\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le6+3=9\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{9}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+yz+xz\left(ĐPCM\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=z=1

9 tháng 1 2018

@Lightning Farron vào thể hiện đẳng cấp đi anh zai :))

22 tháng 6 2018

Ta có \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow1+x^3+y^3\ge xyz+xy\left(x+y+z\right)=xy\left(x+y+z\right)\)

Tương tự ta có

\(VT\ge\dfrac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}+\dfrac{\sqrt{yz\left(x+y+z\right)}}{yz}+\dfrac{\sqrt{zx\left(x+y+z\right)}}{zx}\)

\(=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)

\(=\sqrt{x+y+z}.\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\)

\(\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.\dfrac{3\sqrt[6]{xyz}}{1}=3\sqrt{3}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)

loading...

Tương tự, ta được:

\(\left(2-y\right)\left(2-z\right)>=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{4}\)

và \(\left(2-z\right)\left(2-x\right)>=\left(\dfrac{y+1}{2}\right)^2\)

=>8(2-x)(2-y)(2-z)>=(x+1)(y+1)(z+1)

(x+yz)(y+zx)<=(x+y+yz+xz)^2/4=(x+y)^2*(z+1)^2/4<=(x^2+y^2)(z+1)^2/4

Tương tự, ta cũng co:

\(\left(y+xz\right)\left(z+y\right)< =\dfrac{\left(y^2+z^2\right)\left(x+1\right)^2}{2}\)

và \(\left(z+xy\right)\left(x+yz\right)< =\dfrac{\left(z^2+x^2\right)\left(y+1\right)^2}{2}\)

Do đó, ta được:

\(\left(x+yz\right)\left(y+zx\right)\left(z+xy\right)< =\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)

=>ĐPCM

 

17 tháng 4 2022

1. 1/x + 2/1-x = (1/x - 1) + (2/1-x - 2) + 3

= 1-x/x + (2-2(1-x))/1-x  + 3

= 1-x/x + 2x/1-x + 3    >= 2√2 + 3

Dấu "=" xảy ra khi x =√2 - 1

17 tháng 4 2022

2. a = √z-1, b = √x-2, c = √y-3 (a,b,c >=0)

=> P = √z-1 / z + √x-2 / x + √y-3 / y 

= a/a^2+1 + b/b^2+2 + c/c^2+3

a^2+1 >= 2a              => a/a^2+1 <= 1/2

b^2+2 >= 2√2 b          => b/b^2+2 <= 1/2√2

c^2+3 >= 2√3 c            => c/c^2+3 <= 1/2√3

=> P <= 1/2 + 1/2√2 + 1/2√3

Dấu = xảy ra khi a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 =3

<=> z-1 = 1, x-2 = 2, y-3 = 3

<=> x=4, y=6, z=2

6 tháng 3 2018

Ta có: \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge9xyz\)

\(VT=\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+xz}+\dfrac{z}{1+xy}\)

\(=\dfrac{x^2}{x+xyz}+\dfrac{y^2}{y+xyz}+\dfrac{z^2}{z+xyz}\)

\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\dfrac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)}{3}}\)

\(=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\). Cần chứng minh:

\(\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\)

BĐT cuối đúng vì \(x+y+z\ge\sqrt{3\left(xy+yz+xz\right)}=\sqrt{3}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Ps: nospoiler

6 tháng 3 2018

Dùng cosi dạng engel là ra

AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 5 2018

Lời giải:

Ta có:

\(3=xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\geq 3\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\leq \left(\frac{x+2+x^2-2x+4}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^3+8}\leq \frac{x^2-x+6}{2}\Rightarrow \frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\geq \frac{2x^2}{x^2-x+6}\)

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \underbrace{2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)}_{M}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(M\geq \frac{2(x+y+z)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}=\frac{2(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2-(x+y+z)+18}\)

\(\Leftrightarrow M\geq \frac{2(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}\) (do $xy+yz+xz=3$)

Mà :

\(\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}-1=\frac{(x+y+z)^2+(x+y+z)-12}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}=\frac{(x+y+z-3)(x+y+z+4)}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}\geq 0\) do $x+y+z\geq 0$

Do đó: \(M\geq 1\Rightarrow \text{VT}\geq 1\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)