Question

[Nhóm IOI]

Chứng minh A = (2009+2009²+2009³+...+2009¹⁰) chia hết cho 2010

Answer 1

[tiến dũng]

A=(2009+2009^2)+(2009^3+2009^4)+...+(2009^9+2009^10)

A=[2009.(1+2009)]+[2009^3.(1+2009)]+....+[2009^9.(1+2009)]

A=2009.2010+2009^3.2010+...+2009^9.2010

A=2010(2009+2009^3+2009^5+......+2009^9)  chia het cho 2010

Answer 2

[Ngo Tung Lam]

Ta có :

\(A=2009+2009^2+2009^3+2009^4+....+2009^{10}\)

Tổng A có số số hạng là :

( 10 - 1 ) : 1 + 1 = 10 ( số hạng )

Vì \(10⋮2\)nên khi ta nhóm 2 số liên tiếp lại thành một căp thì không thừa số nào cả 

\(\Rightarrow A=\left(2009+2009^2\right)+\left(2009^3+2009^4\right)+....+\left(2009^9+2009^{10}\right)\)

\(\Rightarrow A=2009.\left(1+2009\right)+2009^3.\left(1+2009\right)+....+2009^9.\left(1+2009\right)\)

\(\Rightarrow A=2009.2010+2009^3.2010+....+2009^9.2010\)

\(\Rightarrow A=2010.\left(2009+2009^3+....+2009^9\right)\)

Vì \(2009+2009^3+....+2009^9\inℤ\)nên \(2010.\left(2009+2009^3+....+2009^9\right)\inℤ\)

Vì \(2010⋮2010\)nên \(A⋮2010\)

Vậy \(A=2009+2009^2+2009^3+....+2009^{10}⋮2010\left(ĐPCM\right)\)