Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\Rightarrow x-1=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\)
\(x^3-3x^2-3x+1=\left(x-1\right)^3-6x+4\)
Ta có \(\left(x-1\right)^3=\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)^3=2+3.\sqrt[3]{8}\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)+4\)
\(=6+6\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)=6+6\left(x-1\right)=6x\)
\(\Rightarrow x^3-3x^2-3x+1=\left(x-1\right)^3-6x+4=6x-6x+4=4\)
Mà 4 là số chính phương nên P là số chính phương
\(P=\left(x-1\right)^3-6x+4=\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)^3-6\left(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)+4\)
\(=\left(2+4+3.\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)\right)-6\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[4]{4}\right)-6+4\)
\(=6+3.\sqrt[3]{8}\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)-6\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)-6+4\)
\(=4\)
\(=2^2\)
Với mọi n nguyên dương ta có:
\(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Với k nguyên dương thì
\(\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)
\(=\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\)(*)
Đặt A = vế trái. Áp dụng (*) ta có:
\(\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\sqrt{3}-\sqrt{1}\)
\(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\sqrt{5}-\sqrt{3}\)
...
\(\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-\sqrt{79}\)
Cộng tất cả lại
\(2A=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-1=8\Rightarrow A>4\left(đpcm\right)\)
3.
Theo bất đẳng thức cô si ta có:
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1.\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}\le\frac{a.b}{2}\)
Tương tự \(\Rightarrow b.\sqrt{a-1}\le\frac{a.b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}+b.\sqrt{a-1}\le a.b\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)
Đề thi tỉnh Hưng Yên 2015-2016
Bạn lên mạng check đáp án cũng được mà
Học tốt!!!!!!!!!