Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Cộng theo vế và thu gọn:
$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$
Ta có đpcm.
Bài 2:
$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$
$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$
$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Câu 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(a^2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)[1+2+2(b+c)^2]\geq (a+1+b+c)^2\)
\(\Rightarrow \frac{5}{16}(a^2+1)[3+2(b+c)^2]\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2\)
Để hoàn thành bài toán ta cần chứng minh:
\((a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{5}{16}(a^2+1)[3+2(b+c)^2]\)
\(\Leftrightarrow (b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{5}{16}[3+2(b+c)^2]\)
\(\Leftrightarrow b^2c^2+\frac{3}{8}(b^2+c^2)+\frac{1}{16}-\frac{5}{4}bc\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (bc-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{8}(b-c)^2\geq 0\)
(Luôn đúng)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Câu 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+1+2)\left[1+1+\frac{(b+c)^2}{2}\right]\geq (a+1+b+c)^2\)
\(\Rightarrow 4(a^2+3)\left[2+\frac{(b+c)^2}{2}\right]\geq 4(a+b+c+1)^2\)
Để hoàn thành bài toán ta cần chứng minh:
\((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4(a^2+3)\left[2+\frac{(b+c)^2}{2}\right]\)
\(\Leftrightarrow (b^2+3)(c^2+3)\geq 8+2(b+c)^2\)
\(\Leftrightarrow b^2c^2+b^2+c^2+1-4bc\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (bc-1)^2+(b-c)^2\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{b^2c^2}{ab+ca}+\frac{c^2a^2}{bc+ab}+\frac{a^2b^2}{ca+bc}\)
\(\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel(hoặc áp dụng BĐT quen thuộc: \(\frac{p^2}{m}+\frac{q^2}{n}\ge\frac{\left(p+q\right)^2}{m+n}\) 2 lần),ta có:
\(VT=\frac{\left(\frac{1}{a^2}\right)}{a\left(b+c\right)}+\frac{\left(\frac{1}{b^2}\right)}{b\left(c+a\right)}+\frac{\left(\frac{1}{c^2}\right)}{c\left(a+b\right)}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\) (thay abc = 1 vào)
\(=\frac{ab+bc+ca}{2}=\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)^{\left(đpcm\right)}\)
Đây là BĐT Iran 96 khá nổi tiếng. Bạn hoàn toàn có thể search trên google lời giải.
giả sử các bất đẳng thức trên đều đúng, tức là ;
\(a\left(1-b\right)>\frac{1}{4},\) \(b\left(1-c\right)>\frac{1}{4},\) \(c\left(1-a\right)>\frac{1}{4}\)
Suy ra: \(a\left(1-b\right)b\left(1-c\right)c\left(1-a\right)>\frac{1}{4}.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow a\left(1-1\right)b\left(1-b\right)c\left(1-c\right)>\frac{1}{64}\)
Điều này vô lí vì: \(\begin{cases}0>a\left(1-a\right)\le\frac{1}{4}\\0>b\left(1-b\right)\le\frac{1}{4}\\0>c\left(1-c\right)\le\frac{1}{4}\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(Đpcm\right)\)
Ta chứng minh \(\frac{a^3}{\left(1-a\right)^2}\ge\frac{4a-1}{4}\) với mọi a thỏa mãn \(0< a< 1\)
\(\Leftrightarrow4a^3-\left(4a-1\right)\left(1-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow9a^2-6a+1\ge0\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự ta có: \(\frac{b^3}{\left(1-b\right)^2}\ge\frac{4b-1}{4}\); \(\frac{c^3}{\left(1-c\right)^2}\ge\frac{4c-1}{4}\)
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow P\ge\frac{4\left(a+b+c\right)-3}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{1}{4}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử cả 3 bất đẳng thức trên đều đúng.
Khi đó:
\(a(2-b)b(2-c)c(2-a)>1.1.1=1\)
\(\Leftrightarrow a(2-a)b(2-b)c(2-c)>1(*)\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương $a,2-a$ ta có:
\(a(2-a)\leq \left(\frac{a+(2-a)}{2}\right)^2=1\)
Tương tự:
\(b(2-b)\leq \left(\frac{b+(2-b)}{2}\right)^2=1\)
\(c(2-c)\leq \left(\frac{c+(2-c)}{2}\right)^2=1\)
Nhân theo vế:
\(a(2-a)b(2-b)c(2-c)\leq 1\) (trái với $(*)$)
Như vậy suy ra điều giả sử là sai. Tức là ít nhất một trong 3 BĐT đã cho là sai.