Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có: \({u_1} = 1,{u_2} = 2,{u_3} = 3\)
Dự đoán \({u_n} = n\)
b) Ta có: \(\begin{array}{l}{v_1} = 1\\{v_2} = 8 = {2^3}\\{v_3} = 27 = {3^3}\\{v_4} = 64 = {4^3}\end{array}\)
Dự đoán: \({v_n} = {n^3}\)
a) Diện tích hình vuông ban đầu bằng 1.1 = 1 (đvdt)
Vì người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới nên diện tích hình mới sẽ bằng một nửa hình trước.
Do đó ta có \({u_1} = {S_1} = 1,q = \frac{1}{2}\)
Vậy \({S_n} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\)
b) \(S = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\)
a) \({S_n} = {5^n}.{\left( {\frac{1}{{{3^n}}}} \right)^2} = {5^n}.\frac{1}{{{9^n}}} = {\left( {\frac{5}{9}} \right)^n},n = 1,2,3,...\)
\(\lim {S_n} = \lim {\left( {\frac{5}{9}} \right)^n} = 0\)
b) \({p_n} = {5^n}.4.\frac{1}{{{3^n}}} = 4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^n},n = 1,2,3,...\)
\(\lim {p_n} = \lim \left( {4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}} \right)\)
Vì \(\lim \frac{1}{{4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}}} = \frac{1}{4}.\lim {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} = 0\) và \(4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^n} > 0\) với mọi \(n\) nên \(\lim {p_n} = \lim \left( {4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}} \right) = + \infty \).
a) Gọi \({u_n}\) là độ dài cạnh của hình vuông thứ \(n\).
Ta có: \({u_1} = 1;{u_2} = \frac{{{u_1}}}{2}.\sqrt 2 = \frac{{{u_1}}}{{\sqrt 2 }};{u_3} = \frac{{{u_2}}}{2}.\sqrt 2 = \frac{{{u_2}}}{{\sqrt 2 }};...\)
Từ đó ta thấy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Vậy \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 1.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Diện tích của hình vuông thứ \(n\) là: \({a_n} = u_n^2 = {\left( {\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}} \right)^2} = \frac{1}{{{2^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Vậy \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\)
Đây là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Vậy \({S_n} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\).
\(\lim {S_n} = \lim 2\left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = 2\left( {1 - \lim \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = 2\left( {1 - 0} \right) = 2\).
b) Chu vi của hình vuông thứ \(n\) là: \({p_n} = 4{u_n} = 4.\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}} = \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Vậy \({Q_n} = 4 + \frac{4}{{\sqrt 2 }} + \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}} = 4\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}} \right)\)
\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Vậy \(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right)\).
\( \Rightarrow {Q_n} = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\lim {Q_n} = \lim 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right) = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right)\\ & = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - 0} \right) = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\end{array}\).
a) Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng nên u1 = (
)2 =
.
Hình vuông thứ hai có cạnh bằng nên u2 = (
)2 =
.
Hình vuông thứ ba có cạnh bằng nên u3 = (
)2 =
.
Tương tự, ta có un =
b) Dãy số (un) là một cặp số nhân lùi vô hạn với u1 = và q =
. Do đó
lim Sn = .
Gọi cạnh của hình vuông có diện tích \(S_k\) là \(a_k\) thì \(a_{k+1}=\dfrac{a_k}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow S_{k+1}=\dfrac{1}{2}S_k\)
Do đó:
\(S=S_1+\dfrac{1}{2}S_1+...+\dfrac{1}{2^{19}}S_1\)
\(=a^2\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2^{19}}\right)=a^2\left(2-\dfrac{1}{2^{19}}\right)\)
Chọn B
Số cách chọn ra 3 đỉnh trong số 25 đỉnh của các hình vuông đơn vị là: C 25 3
TH1: 3 đỉnh nằm trên cùng 1 hàng hoặc cùng 1 cột là: 5 C 5 3 + 5 C 5 3
TH2: 3 đỉnh nằm trên một trong các đường chéo của hình vuông kích thước 4x4, 3x3, 2x2 sao cho các đường chéo ấy không trùng nhau là 
TH3: 3 đỉnh nằm trên một trong các đường chéo của hình chữ nhật kích thước 2x4. Số hình chữ nhật đó là 6. Do đó số cách chọn là 12
Vậy số tam giác được tạo thành là 
= 2148
Cạnh của hình vuông C1 là: a1 = 4 (giả thiết)
Giả sử cạnh hình vuông thứ n là an.
Theo định lý Py-ta-go : Cạnh hình vuông thứ n + 1 là :
⇒ (an) là cấp số nhân với a1 = 4 và công bội 
a) Ta có: \({u_1} = {1^2};{u_2} = {2^2};{u_3} = {3^2};...;{u_n} = {n^2}\)
\(\begin{array}{l}{u_n} > 10000 \Leftrightarrow {n^2} > 10000 = {100^2} \Leftrightarrow n > 100\\{u_n} > 1000000 \Leftrightarrow {n^2} > 1000000 = {1000^2} \Leftrightarrow n > 1000\end{array}\)
b) \({u_n} > S \Leftrightarrow {n^2} > S \Leftrightarrow n > \sqrt S \).
Vậy với các số tự nhiên \(n > \sqrt S \) thì \({u_n} > S\).