Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3) ta xét phương trình thứ nhất
\(x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\)
<=>\(x-y-\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0\)
<=>\(x-y-\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=0\)
<=>\(x-y-\left(\frac{y-x}{xy}\right)=0\)
<=>\(\left(x-y\right)\left(1+\frac{1}{xy}\right)=0\)
<=>\(x=y\) hoặc xy=-1
Với x=y thay vào phương trình thứ hai ta có
\(2x=x^3+1
\)
<=> \(x^3-2x+1=0\)
<=>\(x^3-x^2+x^2-x-x+1=0\)
<=>\(\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)=0\)
<=> \(x=1\) hoặc \(x^2+x-1=0\)
\(x^2+x-1=0\) <=> \(x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)
hoặc \(x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\)
Đối với xy=-1 thì y=-1/x thay vào phương trình 2 giải bình thường
b/ ĐKXĐ; ...
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+3x^2+3x+1-16x-16=\frac{8}{y^3}-\frac{8}{y}\\5\left(x^2+2x+2\right)=1+\frac{4}{y^2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^3-16\left(x+1\right)=\frac{8}{y^3}-\frac{8}{y}\\5\left(x+1\right)^2=\frac{4}{y^2}-4\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=a\\\frac{1}{y}=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3-16a=8b^3-8b\\5a^2=4b^2-4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3-8b^3=16a-8b\\4=-5a^2+4b^2\end{matrix}\right.\)
Nhân vế với vế:
\(4\left(a^3-8b^3\right)=4\left(4a-2b\right)\left(-5a^2+4b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow21a^3-10a^2b-16ab^2=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(21a^2-10ab-16b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(7a-8b\right)\left(3a+2b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\7a=8b\\3a=-2b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)
a/ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y+xy\left(x^2+y\right)+xy+1=-\frac{1}{4}\\x^4+y^2+2x^2y+xy+1=-\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2+y+1\right)\left(xy+1\right)=-\frac{1}{4}\\\left(x^2+y\right)^2+xy+1=-\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y=a\\xy+1=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)b=-\frac{1}{4}\\a^2+b=-\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)b=-\frac{1}{4}\\b=-\frac{1}{4}-a^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(-\frac{1}{4}-a^2\right)=-\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow4a^3+4a^2+a=0\Leftrightarrow a\left(2a+1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\Rightarrow b=-\frac{1}{4}\\a=-\frac{1}{2}\Rightarrow b=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y=0\\xy+1=-\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-x^2\\-x^3=-\frac{5}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y=-\frac{1}{2}\\xy+1=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\frac{1}{2}-x^2\\x\left(-\frac{1}{2}-x^2\right)=-\frac{5}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)
Bài 1:
Đặt $\sqrt[4]{y^3-1}=a; \sqrt{x}=b$ $(a,b\geq 0$)
Khi đó hệ PT trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ b^4+a^4+1=82\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^4+b^4=81\end{matrix}\right.\)
Có: \(a^4+b^4=81\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow [(a+b)^2-2ab]^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow (9-2ab)^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow 2a^2b^2-36ab=0\)
\(\Leftrightarrow ab(ab-18)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} ab=0\\ ab=18\end{matrix}\right.\)
Nếu $ab=0$. Kết hợp với $a+b=3$ suy ra $(a,b)=(3,0); (0,3)$
$\Rightarrow (x,y)=(0, \sqrt[4]{82}); (9, 1)$
Nếu $ab=18$. Kết hợp với $a+b=3$ và định lý Vi-et đảo suy ra $a,b$ là nghiệm của pt: $X^2-3X+18=0$
Dễ thấy pt này vô nghiệm nên loại
Vậy......
Bài 2:
ĐK: ..........
Đặt $\sqrt{x+\frac{1}{y}}=a; \sqrt{x+y-3}=b$ $(a,b\geq 0$)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2+3=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ (a+b)^2-2ab=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ ab=2\end{matrix}\right.\)
Áp dụng định lý Vi-et đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt $X^2-3X+2=0$
$\Rightarrow (a,b)=(2,1); (1,2)$
Nếu $(a,b)=(2,1)$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y-3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y=4\end{matrix}\right.\Rightarrow y=\frac{1}{y}\Rightarrow y=\pm 1\)
$y=1\rightarrow x=3$
$y=-1\rightarrow y=5$
Nếu $(a,b)=(1,2)$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y-3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y=7\end{matrix}\right.\Rightarrow y-\frac{1}{y}=6\)
\(\Rightarrow y^2-6y-1=0\Rightarrow y=3\pm \sqrt{10}\)
Nếu $y=3+\sqrt{10}\rightarrow x=4-\sqrt{10}$
Nếu $y=3-\sqrt{10}\rightarrow x=4+\sqrt{10}$
Vậy...........
