Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
x1 ; x2 là 2 ngiệm của P(x) => P(x1) = P (x2) = 0
=> ax12 + bx1 + c = ax22 + bx2 + c = 0
=> ax12 + bx1 + c - ( ax22 + bx2 + c) = 0
<=> a. (x12 - x22 ) + b.(x1 - x2) = 0 <=> a. (x1 - x2). (x1 + x2) + b.(x1 - x2) = 0
<=> (x1 - x2). [ a.(x1 + x2) + b ] = 0 mà x1 ; x2 khác nhau nên a.(x1 + x2) + b = 0 => b = - a.(x1 + x2) (*)
+) ax12 + bx1 + c = 0 => c = - ( ax12 + bx1) = - x1. (ax1 + b) = - x1 . (-ax2) = ax1. x2 (Do (*))
vậy c = ax1.x2 (**)
Thay b ; c từ (*) và (**) vào P(x) ta được P(x) = ax2 -ax.(x1 + x2) + ax1.x2 = ax2 - ax.x1 - ax.x2 + ax1.x2
= ax. (x - x1) - ax2 . (x - x1) = (ax - ax2). (x - x1) = a. (x - x2). (x - x1) => ĐPCM
Lời giải sẽ dài lắm nhé
x1,x2 là hai nghiệm của \(P(x)\)nên :
\(P(x_1)=ax_1^2+bx_1+c=0\) \((1)\)
\(P(x_2)=ax^2_2+bx^2+c=0\)
\(P(x_1)-P(x_2)=a\left[x^2_1-x^2_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)
\(a\left[x_1+x_2\right]\left[x_1-x_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)
\(\left[x_1-x_2\right]\left[a\left\{x_1+x_2\right\}+b\right]=0\)
Vì x1 \(\ne\)x2 nên x1 - x2 \(\ne\)0 do đó
\(a\left[x_1+x_2\right]+b=0\Rightarrow b=-a\left[x_1+x_2\right]\) \((2)\)
Thế 2 vào 1 ta được :
\(ax^2_1-a\left[x_1+x_2\right]\cdot x_1+c=0\)
\(\Rightarrow c=ax_1\left[x_1+x_2\right]-ax^2_1=ax_1x_2\) \((3)\)
Thế 2 vào 3 vào P\((x)\)ta được :
\(P(x)=ax^2+bx+c=ax^2-ax\left[x_1+x_2\right]+ax_1x_2\)
\(=ax^2-axx_1-axx_2+ax_1x_2=a\left[x^2-xx_1-xx_2+x_1x_2\right]\)
\(=a\left[x\left\{x-x_1\right\}-x_2\left\{x-x_1\right\}\right]=a\left[x-x_1\right]\left[x-x_2\right]\)
Vậy : ....
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=-5\end{matrix}\right.\)
a/ \(\left\{{}\begin{matrix}-x_1+\left(-x_2\right)=-\left(x_1+x_2\right)=m\\\left(-x_1\right)\left(-x_2\right)=x_1x_2=-5\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo, \(-x_1;-x_2\) là nghiệm của:
\(x^2-mx-5=0\)
b/ \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{m}{5}\\\frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1x_2}=-\frac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo, \(\frac{1}{x_1};\frac{1}{x_2}\) là nghiệm của \(x^2-\frac{m}{5}x-\frac{1}{5}=0\Leftrightarrow5x^2-mx-1=0\)
Ta có : \(\left(3x-2\right)\left(\frac{2\left(x+3\right)}{7}-\frac{4x-3}{5}\right)=0\)
=> \(\left(3x-2\right)\left(\frac{10\left(x+3\right)}{35}-\frac{7\left(4x-3\right)}{35}\right)=0\)
=> \(\left(3x-2\right)\left(\frac{10\left(x+3\right)-7\left(4x-3\right)}{35}\right)=0\)
=> \(\left(3x-2\right)\left(\frac{10x+30-28x+21}{35}\right)=0\)
=> \(\left(3x-2\right)\left(\frac{51-18x}{35}\right)=0\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}3x-2=0\\\frac{51-18x}{35}=0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}3x-2=0\\51-18x=0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}3x=2\\18x=51\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}x=\frac{2}{3}\\x=\frac{51}{18}\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S=\left\{\frac{2}{3},\frac{51}{18}\right\}\)
- Vậy tích 2 nghiệm x1, x2 của phương trình là : \(\frac{2}{3}.\frac{51}{18}=\frac{17}{9}\)
Theo Vi-ét cho 3 số (chứng minh bằng hệ số bất định)
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-3\\x_1x_2x_3=-1\end{cases}}\)
\(A=\frac{1+2x_1}{1+x_1}+\frac{1+2x_2}{1+x_2}+\frac{1+2x_3}{1+x_3}\)
\(=3+\frac{x_1}{1+x_1}+\frac{x_2}{1+x_2}+\frac{x_3}{1+x_3}\)
\(=3+\frac{x_1\left(1+x_2\right)\left(1+x_3\right)+x_2\left(1+x_1\right)\left(1+x_3\right)+x_3\left(1+x_1\right)\left(1+x_2\right)}{\left(1+x_1\right)\left(1+x_2\right)\left(1+x_3\right)}\)
\(=3+\frac{x_1\left(1+x_2+x_3+x_2x_3\right)+x_2\left(1+x_1+x_3+x_1x_3\right)+x_3\left(1+x_1+x_2+x_1x_2\right)}{\left(1+x_1+x_2+x_1x_2\right)\left(1+x_3\right)}\)
\(=3+\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)+2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)+3x_1x_2x_3}{1+x_1+x_2+x_3+x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3+x_1.x_2.x_3}\)
\(=3+\frac{0+2.\left(-3\right)+3.\left(-1\right)}{1+0-3-1}\)
\(=6\)
Do x1 là một nghiệm của đa thức f(x) nên ta có: \(x_1^3-3x_1+1=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x_1+1\right)\left(x_1^2-x_1+1\right)=3x_1\)\(\Leftrightarrow\)\(x_1+1=\frac{3x_1}{x_1^2-x_1+1}\)
Có: \(A==\frac{1+2x_1}{1+x_1}+\frac{1+2x_2}{1+x_2}+\frac{1+2x_3}{1+x_3}=3+\left(\frac{x_1}{1+x_1}+\frac{x_2}{1+x_2}+\frac{x_3}{1+x_3}\right)\)
\(A=3+\left(\frac{x_1\left(x_1^2-x_1+1\right)}{3x_1}+\frac{x_2\left(x^2_2-x_2+1\right)}{3x_2}+\frac{x_3\left(x_3^2-x_3+1\right)}{3x_3}\right)\)
\(A=3+\frac{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)-\left(x_1+x_2+x_3\right)+3}{3}\)
\(A=3+\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)-\left(x_1+x_2+x_3\right)+3}{3}\)
Đến đây theo Vi-et bậc 3
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-3\end{cases}}\)
