Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\left(\sqrt{x+y}\right)^2=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y=x+y-2z+2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(\Leftrightarrow2z=2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
Theo giả thiết, ta có:
theo giả thiết, ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\)\(\Rightarrow\frac{x-z}{zx}=\frac{1}{y}\Rightarrow x-z=\frac{zx}{y}\)
Tương tự, ta có: \(y-z=\frac{zy}{x}\)
Do đó: \(2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=2\sqrt{\frac{zx}{y}.\frac{zy}{x}}=2z\) (1)
ta có: \(\left(\sqrt{x+y}\right)^2=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2z=2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)(2)
Thay (2) vào (1) ta thấy (2) luôn đúng
Suy ra ĐPCM
Đặt a = x + 1 > 0 ; b = y + 1 > 0 ; c = z + 4 > 0
a + b + c = 6
\(A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\)
Theo Bất Đẳng Thức ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{4}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c}\ge\frac{16}{a+b+c}=\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{3}\)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=c\\a+b+c=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=\frac{3}{2}\\c=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{2}\\z=-1\end{cases}}}\)
Vậy MaxA = 1/3 khi \(\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{2}\\z=-1\end{cases}}\)
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
Nếu x; y; z là các số nguyên dương mà x y z = 1 => x = y = z = 1
=> bất đẳng thức luôn xảy ra dấu bằng
Sửa đề 1 chút cho z; y; x là các số dương
Ta có: \(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)
=> \(\frac{x^2}{y+1}\ge x-\frac{y+1}{4}\)
Tương tự:
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}\ge x+y+z-\frac{y+1}{4}-\frac{z+1}{4}-\frac{x+1}{4}\)
\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.3\sqrt[3]{xyz}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
Nếu \(x>3,y>3,z>3\) thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (không thỏa)
Vậy trong ba số x,y,z tồn tại ít nhất một số nguyên dương không lớn hơn 3
Không mất tính tổng quát, ta giả sử x là số nhỏ nhất. Vậy thì \(x\le y,x\le z\Rightarrow x=1\) , x = 2 hoặc x = 3
Nếu x = 1 thì \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow y+z=yz\) (bài toán tìm nghiệm nguyên kinh điển bạn tự làm nhé.)
Nếu x = 2 , x = 3 cũng tương tự.
Ơ hơ mới thấy câu này cách đây vài ngày
Em show lại cách làm :")
Giả sử \(x>3;y>3;z>3\)
thì \(VT< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1< 2\left(ktm\right)\)
Vậy trong 3 số x,y,z có ít nhất 1 số nhỏ hơn 3
Mà x,y,z là các số nguyên dương nên
Coi x là số nhỏ hơn 3
\(\left(+\right)x=1\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
\(\Leftrightarrow y+z=yz\)
\(\Leftrightarrow y-yz-1+z=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(z-1\right)=1\)
Dễ tìm được \(y=2;z=2\) \(\left(y=0;z=0\left(ktm\right)\right)\)
\(\left(+\right)x=2\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2y+2z=3yz\)
\(\Leftrightarrow6y-9yz-4+6z=-4\)
\(\Leftrightarrow\left(3y-2\right)\left(3z-2\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\left(y,z\right)=\left(1,2\right);\left(2,1\right)\)( một số cặp khác ko thỏa mãn )
Vậy ta có các cặp x,y,z thỏa mãn : \(\left(1,2,2\right);\left(2,2,1\right);\left(2,2,1\right)\)
