K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2021
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le1\)
\(\Rightarrow P_{max}=1\) khi \(a=b=c\)
Lại có:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=-\dfrac{1}{2}\)
\(P_{min}=-\dfrac{1}{2}\) khi \(a+b+c=0\)
C
2
28 tháng 7 2021
a) M= - x\(^2\)-10- 25+ 2045 = - (x-5)\(^2\)+2045 \(\le\)2045 ( dấu bằng xảy ra khi x = 5)
b) N = a\(^2\)+2a +1 +b\(^2\)-b+\(\dfrac{1}{4}\)- \(\dfrac{6}{4}\)= (a +1)\(^2\)+ (b -\(\dfrac{1}{2}\))\(^2\)- \(\dfrac{6}{4}\)\(\ge\) - \(\dfrac{6}{4}\)( dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = -1, b = 1/2
\(\dfrac{6}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 4 2021
\(a+b\ge a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\)
\(\Rightarrow2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le1\)
Xét \(Q=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}=\dfrac{a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{a+b+2ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)
\(Q=\dfrac{a+b+ab+ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\le\dfrac{a+b+ab+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=1\)
\(\Rightarrow P\le2020+1^{2021}=2021\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 8 2021
\(9=3a^2+2b^2+2bc+2c^2=\left(a+b+c\right)^2+2a^2+b^2+c^2-2a\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow9\ge\left(a+b+c\right)^2+2a^2+\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)^2-2a\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow9\ge\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(2a-b-c\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow-3\le a+b+c\le3\)
\(T_{max}=3\) khi \(a=b=c=1\)
\(T_{min}=-3\) khi \(a=b=c=-1\)
PH
2
NB
7 tháng 3 2022
\(a+b=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}+x;b=\dfrac{1}{2}+y\left(x+y=0\right)\)
có: \(A=a\left(a^2+2b\right)+b\left(b^2-a\right)=a^3+b^3+ab=a^2+b^2\\ =\left(\dfrac{1}{2}+x\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}+y\right)^2=\dfrac{1}{2}+x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=0\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
7 tháng 3 2022
\(a+b=1\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=1\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)+2ab=1\)
\(\Rightarrow2ab+2ab\le1\) (do \(a^2+b^2\ge2ab\))
\(\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\)
\(A=a\left(a^2+2b\right)+b\left(b^2-a\right)\)
\(=a^3+2ab+b^3-ab\)
\(=a^3+b^3+ab\)
\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+ab\)
\(=1^3-3ab+ab=1-2ab\ge1-2.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)
\(A_{min}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
CM
28 tháng 12 2019
a) x2 + 1 ≤ (x - 2)2 ⇔ x2 + 1 ≤ x2 - 4x + 4 ⇔ 4x ≤ 3
⇔ x ≤ 3/4
Vậy: x ≤ 3/4
b) a, b > 0
Ta có: a + b = 1 suy ra: (a + b)2 = 1 ⇒ a2 + 2ab + b2 = 1 (1)
Mặt khác (a - b)2 ≥ 0 với mọi a, b ⇒ a2 - 2ab + b2 ≥ 0 (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được:
2a2 + 2b2 ≥ 1 ⇒ 2(a2 + b2) ≥ 1 ⇒ a2 + b2 ≥ 1/2
CM
16 tháng 1 2017
Điều kiện x ≠ -2 và x ≠ 0
Vì x + 1 2 ≥ 0 nên - x + 1 2 ≤ 0 ⇒ - x + 1 2 - 1 ≤ - 1
Khi đó biểu thức có giá trị lớn nhất bằng -1 khi x = -1
Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng -1 tại x = -1.
C
3
C
1
28 tháng 7 2021
a) Ta có: \(N=a^2+b^2+2a-b-\dfrac{1}{4}\)
\(=a^2+2a+1+b^2-b+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}\)
\(=\left(a+1\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2}\ge-\dfrac{3}{2}\forall a,b\)
Dấu '=' xảy ra khi a=-1 và \(b=\dfrac{1}{2}\)
sửa thành \(A=a^3b+ab^3\) mới làm được cậu