K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Ta có:

\(nu_{n+2}-\left(3n+1\right)u_{n+1}+2\left(n+1\right)u_n=3\)

\(\Leftrightarrow n\left(u_{n+2}-2u_{n+1}\right)-\left(n+1\right)\left(u_{n+1}-2u_n\right)=3\)

Đặt \(u_{n+1}-2u_n=v_n\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_2-2u_1=-2-2.\left(-1\right)=0\\nv_{n+1}-\left(n+1\right)v_n=3\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\dfrac{1}{n+1}v_{n+1}-\dfrac{1}{n}v_n=\dfrac{3}{n\left(n+1\right)}\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{2}v_2-v_1=\dfrac{3}{1.2}\)

\(\dfrac{1}{3}v_3-\dfrac{1}{2}v_2=\dfrac{3}{2.3}\)

\(\dfrac{1}{4}v_4-\dfrac{1}{3}v_3=\dfrac{3}{3.4}\)

\(...\)

\(\dfrac{1}{n}v_n-\dfrac{1}{n-1}v_{n-1}=\dfrac{3}{\left(n-1\right)n}\)

\(\dfrac{1}{n+1}v_{n+1}-\dfrac{1}{n}v_n=\dfrac{3}{n\left(n+1\right)}\)

Cộng theo vế, ta có:

\(\dfrac{1}{n+1}v_{n+1}-v_1=3\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)\)

\(\Rightarrow v_{n+1}=3n\Leftrightarrow v_n=3\left(n-1\right)\)

\(\Rightarrow u_{n+1}-2u_n=3\left(n-1\right)\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1}+3\left(n+1\right)=2\left(u_n+3n\right)\)

Đặt \(a_n=u_n+3n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1=u_1+3=2\\a_{n+1}=2a_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a_n=2^n\)\(\Rightarrow u_n=2^n-3n\)\(,\forall n\in N\text{*}\)

NV
28 tháng 3 2021

Dễ dàng nhận thấy \(u_n\) là dãy dương

Ta sẽ chứng minh \(u_n< 2\) ; \(\forall n\)

Với \(n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2\) (thỏa mãn)

Giả sử điều đó đúng với \(n=k\) hay \(u_k< 2\)

Ta cần chứng minh \(u_{k+1}< 2\)

Thật vậy, \(u_{k+1}=\sqrt{u_k+2}< \sqrt{2+2}=2\) (đpcm)

Do đó dãy bị chặn trên bởi 2

Lại có: \(u_{n+1}-u_u=\sqrt{u_n+2}-u_n=\dfrac{u_n+2-u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n}=\dfrac{\left(u_n+1\right)\left(2-u_n\right)}{\sqrt{u_n+2}+u_n}>0\) (do \(u_n< 2\))

\(\Rightarrow u_{n+1}>u_n\Rightarrow\) dãy tăng

Dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn đó là k>0

Lấy giới hạn 2 vế giả thiết:

\(\lim\left(u_{n+1}\right)=\lim\left(\sqrt{u_n+2}\right)\Leftrightarrow k=\sqrt{k+2}\)

\(\Leftrightarrow k^2-k-2=0\Rightarrow k=2\)

Vậy \(\lim\left(u_n\right)=2\)

1 tháng 12 2023