1. Cho a,b,c > 0. CmR: $\dfrac{a^2 b^2}{a b} \dfrac{b^2 c^2}{b c} \dfrac{c^2 a^2}{c a}\le3.\dfrac{a^2 b^2 c^2}{a b c}$ 2. Cho $f\left(x\right)=ax^2 bx c$ biết rằng: \(\left\{{}\begin{matrix}\left...

1

KN

Khánh Nguyễn

30 tháng 11 2017

sky oi say oh yeah

1. Cho a,b,c > 0. CmR: $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}\le3.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$2. Cho $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ biết rằng: $\hept{\begin{cases}\left|f\left(0\right)\right|\le1\\\left|f\left(-1\right)\right|\le1\\\left|f\left(1\right)\right|\le1\end{cases}}$CmR: a) $\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\le3$ b) \(\left|f\left(x\right)\right|\le\dfrac{5}{4}\forall...

TA

Thiên An

3 tháng 9 2017

1

TN

Thắng Nguyễn

3 tháng 9 2017

1.

Nhân 2 vế của BĐT với $\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)$

$3(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\ge(a+b+c)\left(Σ_{cyc}(a^2+b^2)(c+a)(c+b)\right)$

$\LeftrightarrowΣ_{perms}a^2b\left(a-b\right)^2\ge0$ *đúng*

NT

Ngô Tấn Đạt

26 tháng 2 2018

Cho $\dfrac{bz+cy}{x\left(-ax+by+cz\right)}=\dfrac{cx+az}{y\left(ax-by+cz\right)}=\dfrac{ay+bx}{z\left(ax+by-cz\right)}$

CMR : $\dfrac{ay+bx}{c}=\dfrac{bz+cy}{a}=\dfrac{cx+az}{b}$

b) $\dfrac{x}{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}=\dfrac{y}{b\left(a^2+c^2-b^2\right)}=\dfrac{z}{c\left(a^2+b^2-c^2\right)}$

#Toán lớp 7

1

NT

Ngô Tấn Đạt

26 tháng 2 2018

Phương Ann Nhã Doanh đề bài khó wá Mashiro Shiina Đinh Đức Hùng

Nguyễn Huy Tú Lightning Farron Akai Haruma

LV

Lê Văn Hoàng

3 tháng 10 2017

CMR: $\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2009}{ab+bc+ca}\ge670$ với $\left\{{}\begin{matrix}a+b+c\le3\\a,b,c>0\end{matrix}\right.$

1

HN

Hà Nam Phan Đình

4 tháng 11 2017

Áp dụng BĐT B.C.S ta có

$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}\ge\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}$

mặt khác do $a+b+c\le3\Rightarrow\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge1$

$\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}\ge1$(*)

ta lại có $ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le3$

$\Rightarrow\dfrac{2007}{ab+bc+ac}\ge\dfrac{2007}{3}=669$(**)

lấy (*)+(**) vế theo vế ta được

$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2009}{ab+bc+ac}\ge669+1=670\left(dpcm\right)$

MH

Minh Hiếu

5 tháng 5 2022

1. Cho a,b,c t/m: $\left\{{}\begin{matrix}a\ge\dfrac{4}{3}\\b\ge\dfrac{4}{3}\\c\ge\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.$ và $a+b+c=6$

$CMR:\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{6}{5}$

2. Cho x,y >0 t/m: $2x+3y-13\ge0$

Tìm min $P=x^2+3x+\dfrac{4}{x}+y^2+\dfrac{9}{y}$

1)cho a,b,c >0. $cmr:\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ca}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}$ 2) cho a,b,c>0 và a+b+c=1. $cmr:\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\ge64$ 3) cho a,b,c>0. $cme:\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$ 4) cho a,b,c>0 .$cmr:\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{c^3}+\dfrac{c^3}{a^3}\ge\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}$ 5)cho a,b,c>0. cmr:...

1

NH

Nguyễn Hoàng Minh

6 tháng 5 2022

Xét $\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0$

$\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}$

CMTT $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.$

Cộng vế theo vế:

$\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}$

Dấu $"="\Leftrightarrow a=b=c=2$

Đúng(7)

MH

Minh Hiếu

6 tháng 5 2022

Mà câu này làm được rồi, giúp được câu kia không

Đúng(1)

PL

Phạm Lợi

3 tháng 1 2019

7

DB

đề bài khó wá

3 tháng 1 2019

3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :

$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}$

$\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}$

$\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}$

Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :

$2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)$

$\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)$

AH

Akai Haruma

Giáo viên

4 tháng 1 2019

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}$

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c$

Do đó:

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(1)

AK

Anh Khương Vũ Phương

9 tháng 5 2018

Cho $\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a^2+b^2+c^2=1\end{matrix}\right.$

CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{b^2+a^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

0

AL

acc lập ra để hỏi bất đẳng thức

14 tháng 2 2021

cho $\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c\le\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.$

tìm $MinS=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}$

2

TM

Trần Minh Hoàng

14 tháng 2 2021

Lâu rồi không lên Hoc24

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, Schwarz và AM - GM ta có:

$S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}\right]+\dfrac{81.15}{16\left(a+b+c\right)^2}}\ge\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{135}{4}}=\sqrt{\dfrac{153}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$.

Đúng(2)

AL

acc lập ra để hỏi bất đẳng thức

14 tháng 2 2021

undefined

Sau khi chọn đc hệ số điểm rơi là 16 thì cơ sở nào tách tiếp ra 16 số rồi áp dụng cosi nữa vậy ạ??

1)cho a,b,c>0 CMR $\dfrac{a^2}{b^2c}+\dfrac{b^2}{c^2a}+\dfrac{c^2}{a^2b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ 2)tìm x,y nguyên dương thỏa $\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+2\left(x-y\right)\left(1-xy\right)=4xy+9$ 3) ghpt a) $\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+3=4x\\x^3+12x+y^3=6x^2+9\end{matrix}\right.$ b)...

LT

lê thị tiều thư

10 tháng 3 2017

6

N

Neet

10 tháng 3 2017

Xí câu BĐT:

ta cần chứng minh $\dfrac{a^2}{b^2c}+\dfrac{b^2}{c^2a}+\dfrac{c^2}{a^2b}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{abc}$

$\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca$

Áp dụng BĐT cauchy:

$\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}=2a^2$

tương tự ta có:$\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2;\dfrac{c^3}{a}+ac\ge2c^2$

cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế ta có:

$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2a^2+2b^2+2c^2$

$\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)$

mà a²+b²+c²$\ge ab+bc+ca$ ( chứng minh đầy đủ nhá)

do đó $S=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-ab+bc+ca=ab+bc+ca$

suy ra BĐT ban đầu đúng

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

P/s: cách khác :Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:

$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}$

$S\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca$

HY

Hương Yangg

11 tháng 3 2017

Câu hệ này =))
b, Từ hệ đã cho ta thấy x,y > 0
Trừ vế cho vế pt (1) và (2) của hệ ta được:
$x^4-y^4=4y-4x$
$\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=4\left(y-x\right)$
$\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\left(x-y\right)=0$
$\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\right]=0$
$\Leftrightarrow x-y=0$ ( Vì $\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4>0$ với x,y > 0)
$\Leftrightarrow x=y$
Với x = y thay vào pt đầu của hệ ta được:
$x^4-4x+3=0$
$\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-3\right)=0$
$\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x+3\right)=0$
$\Leftrightarrow x-1=0$ ( Vì $x^2+2x+3>0$ )
$\Leftrightarrow x=1$
Với x=1 suy ra y=1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)