Cho hai số thực x,y thay đổi thỏa mãn các điều kiện x+y≥1 và 0<x<1. Tìm GTNN của biểu thức A=\(\frac{8x^2+y}{4x}+y^2\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án D
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ, đưa về hàm một biến, dựa vào giả thiết để tìm điều kiện của biến
Lời giải:
Từ giả thiết chia cả 2 vế cho x2y2 ta được :
Đặt ta có
Khi đó
Ta có mà
nên
Dấu đẳng thức xảy ra khi . Vậy Mmax = 16
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có
P = x 2 4 + 8 y + y 2 1 + x = x 2 4 + 8 y + 2 y 2 4 + 4 x ≥ x + 2 y 2 8 + 4 x + 2 y
Dấu “=” xảy ra khi x = 2y
Đặt t = x + 2y; t ≥ 8 . Khi đó P ≥ t 2 8 + 4 t
Xét hàm số f t = t 2 8 + 4 t , t ∈ [ 8 ; + ∞ )
Suy ra f(t) đồng biến trên [ 8 ; + ∞ ) nên f t ≥ f 8 = 8 5 Vậy m a x P = 8 5 ⇔ x = 4 ; y = 2
Đáp án A
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án D
Ta có C 12 1 . C 10 1 = 120
Khi đó C 12 1 . C 10 1 = 120 . Đặt C 12 1 . C 10 1 = 120
Ta luôn có C 12 1 . C 10 1 = 120
C 12 1 . C 10 1 = 120 Suy ra C 12 1 . C 10 1 = 120
Xét hàm số f t = t 2 − 8 t + 3 trên khoảng − 1 ; + ∞ ,có f ' t = 2 t + 1 2 t + 4 t + 3 2 > 0 ; ∀ t > − 1
Hàm số f(t) liên tục trên − 1 ; + ∞ ⇒ f t đồng biến trên − 1 ; + ∞
Do đó, giá trị nhỏ nhất của f(t) là min − 1 ; + ∞ f t = f − 1 = − 3 . Vậy P min = − 3
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có (x+y)xy=x2+y2-xy
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-\frac{1}{xy}\)
<=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)
<=> \(0\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le4\)
mà \(A=\frac{1}{x^3+y^3}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\le16\)
Vậy Max A =16 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
https://diendantoanhoc.net/topic/182493-%C4%91%E1%BB%81-thi-tuy%E1%BB%83n-sinh-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10-%C4%91hsp-h%C3%A0-n%E1%BB%99i-n%C4%83m-2018-v%C3%B2ng-2/
bài này năm trrong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSP Hà Nội Năm 2018 (vòng 2) bn có thể tìm đáp án trên mạng để tham khảo
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :
\(P=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{xyz}}}\)
Mặt khác, ta có : \(\sqrt[3]{xyz}\le\frac{x+y+z}{3}=1\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
Vậy GTNN của P là 3 khi x = y = z = 1
Cách đơn giản hơn cách của anh Tùng:) sửa nốt là thực dương :V
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(P=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Xét bđt phụ \(x+y+z\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)với x,y,z > 0 ( cấy ni thì dễ rồi nhân 2 vào cả 2 vế chuyển vế là xong )
\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1