Cho số phức
z
1
thỏa mãn
z
1
−
2
2
−
z
1
+
1
2
=
1
và số phức
z
2
thỏa mãn
z
2
−
4
−
i
=
5
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
z
1
−
z
2
A.
2
5
5
.
B.
5
.
C.
2
5
.
D.
...
Đọc tiếp
Cho số phức z 1 thỏa mãn z 1 − 2 2 − z 1 + 1 2 = 1 và số phức z 2 thỏa mãn z 2 − 4 − i = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z 1 − z 2
A. 2 5 5 .
B. 5 .
C. 2 5 .
D. 3 5 5 .
Đáp án D
Gọi M x ; y là điểm biểu diễn số phức z 1 . Khi đó z 1 − 2 2 − z 1 + i 2 = 1
⇔ x − 2 2 + y 2 − x 2 − y + 1 2 = 1 ⇔ − 4 x − 2 y + 2 = 0 ⇔ 2 x + y − 1 = 0
Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z 1 là đường thẳng Δ : 2 x + y − 1 = 0 .
Gọi N a ; b là điểm biểu diễn số phức z 2 . Khi đó z 2 − 4 − i = 5 ⇔ a − 4 2 + b − 1 2 = 5
Suy ra tâp hợp các điểm N biểu diễn số phức z 2 là đường tròn C : x − 4 2 + y − 1 2 = 5 có tâm I 4 ; 1 , bán kính R = 5 .
Nhận thấy d I ; Δ = 2.4 + 1 − 1 2 2 + 1 2 = 8 5 5 > 5 = R nên đường thẳng Δ và đường tròn (C) không cắt nhau.
Lại có z 1 − z 2 = x − a + y − b i = x − a 2 + y − b 2 = M N . Dựa vào hình vẽ ta thấy M N min ⇔ M N = d I ; Δ − R . Vậy z 1 − z 2 min = 8 5 5 − 5 = 3 5 5 .