Question

[Admin (a@olm.vn)]

(Thừa Thiên Huế)

Cho phương trình x² + (m – 3)x – 2m – 1 = 0 (1),

     a)      Không sử dụng máy tính cầm tay. Giải phương trình (1) khi m = 1

    b)      Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

c)      Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng tỏ rằng với mọi m nguyên biểu thức

                                  \(A=4x_1^2-x_1^2x_2^2+4x_2^2+x_1x_2\) 

    luôn chia hết cho 7 .

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

Cho phương trình x² + ( m - 3 )x - 2m - 1 = 0 (1)

a) Với m = 1, thay vào (1) ta được pt : x² - 2x - 3 = 0

Dễ thấy pt trên có a - b + c = 1 + 2 - 3 = 0

nên pt có hai nghiệm x₁ = -1 ; x₂ = -c/a = 3

Vậy với m = 1 thì pt có hai nghiệm x₁ = -1 ; x₂ = 3

b) Xét Δ ta có :

Δ = b² - 4ac = ( m - 3 )² - 4( -2m - 1 ) 

= m² - 6m + 9 + 8m + 4 

= m² + 2m + 13

Dễ thấy Δ = m² + 2m + 13 = ( m + 1 )² + 12 ≥ 12 > 0 ∀ m

hay (1) luôn có hai nghiệm với mọi m (đpcm)

c) lỗi quá e k nhìn rõ đề

Answer 2

[Nguyễn Huy Tú]

a, Thay m = 1 vào phương trình ta được :

\(x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x^2-2x+1-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-4=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy với m = 1 thì x = -1 ; x = 3 

b, \(x^2+\left(m-3\right)x-2m-1=0\Leftrightarrow x^2+\left(m-3\right)x-\left(2m+1\right)=0\)

\(\Delta=\left(m-3\right)^2+4\left(2m+1\right)=m^2-6m+9+8m+4\)

\(=m^2+2m+13=m^2+2m+\frac{1}{4}+\frac{51}{4}\)

\(=\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{51}{4}>0\forall m\)

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m