K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 5 2019

Theo đề bài ta có

\(a\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\)=> \(a^2b\ge a^2+ab-a\)

\(b\left(1-c\right)\left(1-b\right)\ge0\)=> \(b^2c\ge b^2+bc-b\)

Tương tự \(c^2a\ge c^2+ac-c\)

Khi đó

\(VT\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-\left(a+b+c\right)=2^2-2=2\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=1,c=0\)và các hoán vị

19 tháng 5 2017

Vì \(0\le a,b,c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\left(1-b\right)\le a\left(1-b\right)\\b^2\left(1-c\right)\le b\left(1-c\right)\\c^2\left(1-a\right)\le c\left(1-a\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\le a+b+c-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b+c\right)^2-\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-1\right)\)

Do \(a+b+c\ge2\Rightarrow a+b+c-1\ge1\Rightarrow VT\ge2\)

Đẳng thức xảy ra khi 1 trong 3 số a,b,c có 2 số bằng 1 và 1 số bằng 0

19 tháng 5 2017

bạn thử giải hộ mình mấy bài này vs

https://diendantoanhoc.net/topic/173087-to%C3%A1n-%C3%B4n-thi-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10/#entry681162

28 tháng 4 2017

Đặt \(THANG=ab\left(a+1\right)+bc\left(b+1\right)+ca\left(c+1\right)\) :v

\(0\le a;b;c\le1\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\left(1-b\right)\le a\left(1-b\right)\\b^2\left(1-c\right)\le b\left(1-c\right)\\c^2\left(1-a\right)\le c\left(1-a\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\le a+b+c-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow THANG\ge\left(a+b+c\right)^2-\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-1\right)\)

\(a+b+c\ge2\) nên \(a+b+c-1\ge1\). Vậy \(THANG\ge2\cdot1=2\)

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số \(a;b;c\) có 2 số bằng 1 và một số bằng 0

29 tháng 4 2017

hi còn cách làm khác ko thắng cho mik xin lun :v

18 tháng 2 2022

Ta có:

\(\frac{a\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}=\frac{a\left(b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b^2+bc+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(\ge\frac{4a\left(b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b^2+bc+c^2+ab+bc+ca\right)^2}=\frac{4a\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2}\)

Tương tự ta được:

\(\frac{a\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\)

\(\ge\frac{4a\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2}+\frac{4b\left(ab+bc+ca\right)}{\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)^2}+\frac{4c\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)^2}\)

Vậy ta cần chứng minh:

\(\frac{4a\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2}+\frac{4b\left(ab+bc+ca\right)}{\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)^2}+\frac{4c\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)^2}\ge2\)

Ta viết lại bất đẳng thức trên thành:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Đánh giá trên đúng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

22 tháng 6 2020

Đợi t qua thi nhé full.

NV
28 tháng 4 2021

Do \(abc=1\), nếu viết BĐT về dạng: 

\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Có lẽ bạn sẽ nhận ra ngay. Một bài toán vô cùng quen thuộc.

Chắc với bài toán này thì bạn ko cần lời giải nữa, nó có ở khắp mọi nơi.

28 tháng 4 2021

cảm ơn a

1 tháng 9 2020

Chắc áp dụng BĐT AM-GM á

2 tháng 9 2020

Bất đẳng thức sau đây đúng với mọi a, b, c không âm:

\(\left(ab+bc+ca\right)\left[\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\right]\ge\frac{49}{18}+k\left(\frac{a}{b+c}-2\right)\)

với \(k=\frac{23}{25}\).

Note. \(k_{\text{max}}\approx\text{0.92102588865167}\) là nghiệm của phương trình bậc 5: 

15116544*k^5+107495424*k^4-373143024*k^3+280903464*k^2+209797812*k-227353091 = 0

26 tháng 5 2019

\(P=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}\) 

\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(ab+bc+ca+a^2\right)\left(ab+bc+ca+b^2\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)}}\)

\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Ta có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=1\left(1\right)\) 

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Tương tự:\(b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(P\ge1+\frac{8abc}{8abc}=2\left(đpcm\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

:))

26 tháng 5 2019

ở phần cô si phần cuối là bn sai r

vì >= nhưng ở dưới mẫu nên bị đảo lại thành =< nên bn lm như thế k đúng

đay là link giải https://diendan.hocmai.vn/threads/bdt-a-2-b-2-c-2-dfrac-8abc-a-b-b-c-c-a-geq-2.341255/

2 tháng 4 2022

Dễ dàng c/m : \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\)

Ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{a+b+4}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}\right)\) 

Suy ra : \(\Sigma\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le2.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\) 

" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

2 tháng 4 2022

 Dạ em cám ơn nhiều lắm ạ