Question

[doraemon]

Cho mình hỏi cách làm những bài dạng tìm min nhưng có điều kiện của ẩn, làm sao để giải đi đúng hướng ra đúng điều kiện đó vậy?

Answer 1

[Lê Song Phương]

Bạn phải nắm chắc kĩ thuật chọn điểm rợi. Ví dụ:

Cho \(a\ge3\), tìm GTNN của \(A=a+\frac{1}{a}\)

Ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=3\)

Nếu áp dụng thẳng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(a\)và \(\frac{1}{a}\), khi đó dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=\pm1\)trái với \(a\ge3\)

Do đó ta cần tách \(a\)thành 2 hạng tử trong đó có hạng tử \(ka\)khi Cô-si với \(\frac{1}{a}\)sẽ đảm bảo dấu "=" xảy ra khi \(a=3\)

Mặt khác khi Cô-si \(ka\)với \(\frac{1}{a}\), dấu "=" xảy ra khi \(ka=\frac{1}{a}\), điều này đồng nghĩa với việc \(3k=\frac{1}{3}\)hay \(k=\frac{1}{9}\)

Như vậy ta sẽ tách như sau:

\(A=\frac{1}{9}a+\frac{1}{a}+\frac{8}{9}a\)

Áp dụng Cô-si cho 2 số \(\frac{1}{9}a\)và \(\frac{1}{a}\), ta có \(\frac{1}{9}a+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{1}{9}a.\frac{1}{a}}=\frac{2}{3}\)

Lại có \(a\ge3\)\(\Leftrightarrow\frac{8}{9}a\ge\frac{8}{9}.3=\frac{8}{3}\)

Vậy \(A\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=3\)

Vậy GTNN của A là \(\frac{10}{3}\)khi \(a=3\)