Question

[Nguyễn Thế Tuấn]

Cho tam giác vuông trong đó có một góc bằng trung bình cộng của hai góc còn lại.Cạnh lớn nhất của tam giác đó bằng a. Tính diện tích tam giác đó

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Gọi tam giác vuông đó là ΔABC vuông tại A có \(\widehat{B}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{C}}{2}\)

Theo đề, ta có: cạnh lớn nhất của tam giác đó bằng a

=>BC=a

ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)(1)

\(\widehat{B}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)\)

=>\(\widehat{B}=\dfrac{1}{2}\left(90^0+\widehat{C}\right)\)

=>\(\widehat{B}-\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{C}=45^0\)(2)

Từ (1),(2) suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}-\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{C}=45^0\\\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{3}{2}\cdot\widehat{C}=-45^0\\\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}=30^0\\\widehat{B}=90^0-30^0=60^0\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinC=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(\dfrac{AB}{a}=sin30=\dfrac{1}{2}\)

=>\(AB=\dfrac{1}{2}a\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2+\dfrac{1}{4}a^2=a^2\)

=>\(AC^2=\dfrac{3}{4}a^2\)

=>\(AC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{8}\)

Answer 2

[Alice]

Gọi tam giác thỏa đề là \( ABC\) ( với \(A>B>C\) )

đề cho tam giác vuông nên suy ra \(A=90^o\)

ta có \(A+B+C=180^o\) , mà theo đề \(A+C=2B\) , suy ra \(B=60^o\)

ta tính \(\text{AB = BC}.cos60^o=\dfrac{a}{2}\)

diện tích tam giác : \(S=\dfrac{1}{2}AB.BC.sinB=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{8}\)