Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Ta có \(\left(b-a\right)\left(b+a\right)=p^2\)
Mà b+a>b-a ; p là số nguyên tố
=> \(\hept{\begin{cases}b+a=p^2\\b-a=1\end{cases}}\)
=> \(\hept{\begin{cases}b=\frac{p^2+1}{2}\\a=\frac{p^2-1}{2}\end{cases}}\)
Nhận xét :+Số chính phương chia 8 luôn dư 0 hoặc 1 hoặc 4
Mà p là số nguyên tố
=> \(p^2\)chia 8 dư 1
=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮4\)=> \(a⋮4\)(1)
+Số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc 1
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3
=> \(p^2\)chia 3 dư 1
=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮3\)=> \(a⋮3\)(2)
Từ (1);(2)=> \(a⋮12\)
Ta có \(2\left(p+a+1\right)=2\left(p+\frac{p^2-1}{2}+1\right)=p^2+1+2p=\left(p+1\right)^2\)là số chính phương(ĐPCM)
Ta có
x2 + y2 - xy = 8
<=> 2x2 + 2y2 - 2xy = 16
<=> x2 + y2 + (x - y)2 = 16
<=> M = 16 - (x - y)2 \(\le\)16
Vậy max là 16
Ta lại có
2x2 + 2y2 - 2xy = 16
<=> 2x2 + 2y2 = 16 + 2xy
<=> 3(x2 + y2) = 16 + (x + y)2 \(\ge16\)
<=> 3M\(\ge\)16
<=> M \(\ge\frac{16}{3}\)
Vậy min là \(\frac{16}{3}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:2x+3y+z=1.Tìm GTNN của biểu thức P=\(x^3+y^3+z^3\)
Lời giải:
Áp dụng PP tìm điểm rơi và BĐT Cauchy cho các số dương:
\(x^3+\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3+\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3\geq 3x\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^2\)
\(y^3+\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3+\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3\geq 3y\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^2\)
\(z^3+\left(\frac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3+\left(\frac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3\geq 3z\left(\frac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^2\)
Cộng theo vế:
\(P+\frac{2}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}\geq \frac{3}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}(2x+3y+z)=\frac{3}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{1}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{1}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}\)
