Question

[Cô Hoàng Huyền]

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$. Điểm $C$ thuộc đoạn thẳng $AO$ ($C$ khác $A$ và $O$). Đường thẳng vuông góc với $AO$ tại $C$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $D$ và $K$. Tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $AO$ tại $E$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $DE$ tại $F$. Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $FO$ và $DK$.

Chứng minh các tứ giác $AFDO$ và $AHOK$ là tứ giác nội tiếp.

Answer 1

[Phan Thanh Thảo]

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$. Điểm $C$ thuộc đoạn thẳng $AO$ ($C$ khác $A$ và $O$). Đường thẳng vuông góc với $AO$ tại $C$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $D$ và $K$. Tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $AO$ tại $E$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $DE$ tại $F$. Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $FO$ và $DK$.

Chứng minh các tứ giác $AFDO$ và $AHOK$ là tứ giác nội tiếp.

 xet tu giac AFDO co: goc FAO=FDO=90(gt)

=> tu giac AFDO noi tiep ( tong 2 goc doi dien bang 180)

vi OA vuong goc voi DK tai C (gt) va D,K thuoc (O)

=> OC la duong trung truc cua DK 

=> tam giac ODK can tai O

=> goc ODK = OKD (1)

Mat khac, $ta\; lai\; co\; F\; nam\; ngoai\; (O);$

$FA\; va\; FD\; lan\; luot\; la\; cac\; tiep\; tuyen\; cua\; (O)$

=> FO vuong goc voi AD 

va ta thay DC vuong goc voi OA

nen H la truc tam cua tam giac OAD

=>AH vuong goc voi OD=> AH song song voi ED

=> goc HAO=DEO (dong vi) (2)

Ta thay goc DEO= 90- goc DOE (tong 3 goc trong tam giac DOE)

va goc ODK=90- goc DOE (tong 3 goc trong tam giac DOK)

=>goc ODK=DEO (3)

Tu (1);(2);(3)=> goc OAH=OKH

=>tu giac AHOK noi tiep