Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M=x^2+2y^2+2xy-2x-3y+1\)
=> \(M=x^2+2x\left(y-1\right)+\left(y-1\right)^2-\left(y-1\right)^2+2y^2-3y+1\)
=> \(M=\left(x+y-1\right)^2-y^2+2y-1+2y^2-3y+1\)
=> \(M=\left(x+y-1\right)^2+y^2-y\)
=> \(M=\left(x+y-1\right)^2+y^2-2y\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\)
=> \(M=\left(x+y-1\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)
Có \(\left(x+y-1\right)^2\ge0\)với mọi x, y
\(\left(y-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)với mọi y
=> \(M=\left(x+y-1\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge\frac{-1}{4}\)với mọi x, y
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y-1=0\\y-\frac{1}{2}=0\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
KL: Mmin = \(\frac{-1}{4}\)<=> \(x=y=\frac{1}{2}\)
Phương trình tương đương: \(\left(x^2+2xy+y^2\right)+y^2+3y-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=4-y^2-3y\)
do \(VT\ge0\) \(\Rightarrow VP\ge0\)\(\Rightarrow4-y^2-3y\ge0\)\(\Leftrightarrow y^2+3y-4\le0\)
\(\Leftrightarrow4y^2+12y-16\le0\)\(\Leftrightarrow\left(2y+3\right)^2-25\le0\Leftrightarrow\left(2y+3\right)^2\le25\)
\(\Rightarrow-5\le2y+3\le5\Rightarrow-4\le y\le1\)
Đến đây thì thế vào pt là tìm được x
\(A=\frac{4x+3}{x^2+1}\)\(=\dfrac{x^2+4x+4-\left(x^2+1\right)}{x^2+1}\)\(=\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x^2+1}-\dfrac{x^2+1}{x^2+1}\)\(\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x^2+1}-1 \ge -1 \forall x \in \mathbb{R}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)
Vậy \(A_{min}=-1\Leftrightarrow x=-2\)
\(A=\frac{4x+3}{x^2+1}\)\(=\dfrac{4\left(x^2+1\right)-\left(4x^2-4x+1\right)}{x^2+1}\)\(=4-\dfrac{(2x-1)^2}{x^2+1} \le 4 \forall x \in \mathbb{R}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
Vậy \(A_{max}=4\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
Lời giải:
$x^2+2xy+3y^2=6$
$\Leftrightarrow (x^2+2xy+y^2)+2y^2=6$
$\Leftrightarrow (x+y)^2+2y^2=6$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$M^2=(x+2y)^2=[(x+y)+y]^2\leq [(x+y)^2+2y^2](1+\frac{1}{2})=6.\frac{3}{2}=9$
$\Rightarrow -3\leq M\leq 3$
Vậy $M_{\min}=-3; M_{\max}=3$.