a) 2

b) 25/4

c)  -9/2

a) \(A=x^2-6x+11=x^2-6x+9+2=\left(x-3\right)^2+2\)

\(\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x-3\right)^2+2\ge2\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 3 = 0 => x = 3

Vậy A_Min = 2 , đạt được khi x = 3

b) \(B=5x-x^2=-x^2+5x=-x^2+5x-\frac{25}{4}+\frac{25}{4}=-\left(x^2-5x+\frac{25}{4}\right)+\frac{25}{4}=-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{25}{4}\)

\(-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{25}{4}\le\frac{25}{4}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 5/2 = 0 => x = 5/2

Vậy B_Max = 25/4 , đạt được khi x = 5/2

c) \(2x-2x^2-5=-2x^2+2x-5=-2\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)-\frac{9}{2}=-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{2}\)

\(-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{2}\le-\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1/2 = 0 => x = 1/2

Vậy C_Max = -9/2 , đạt được khi x = 1/2

n³ + 5n = n³ - n + 6n = n( n² - 1 ) + 6n = n(n - 1)( n + 1) + 6n

n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 6 ; 6n chia hết cho 6

suy ra đpcm

 Ta có: \(n^3+5n\)

  \(\Leftrightarrow\)\(n^3-n+6n\)

  \(\Leftrightarrow\) \(n(n^2-1)+6n\)

  \(\Leftrightarrow\) \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+6n\)

 \(Do\hept{\begin{cases}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\\6n⋮6\end{cases}}\) 

\(\Rightarrow\) \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+6n⋮6\)

\(\Leftrightarrow\)\(n^3+5n⋮6\left(ĐPCM\right)\)

Ahihi