Biết sin x cos x = ma) Tìm $\left|\sin^4-\cos^4\right|$b) Chứng minh rằng $\left|m\right|$$\le\sqrt{2}$

DT

Đỗ Thị Minh Ngọc

22 tháng 10 2023

Biết sin x + cos x = m

a) Tìm $\left|\sin^4-\cos^4\right|$

b) Chứng minh rằng $\left|m\right|$$\le\sqrt{2}$

#Toán lớp 10

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

23 tháng 10 2023

a: $\left(sinx+cosx\right)^2=m^2$

=>$m^2=sin^2x+cos^2x+2\cdot sinx\cdot cosx$

=>$2\cdot sinx\cdot cosx=m^2-1$

$\left(sinx-cosx\right)^2=sin^2x+cos^2x-2\cdot sinx\cdot cosx$

$=1-\left(m^2-1\right)=2-m^2$

$\left|sin^4x-cos^4x\right|=\left|\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^2x-cos^2x\right)\right|$

$=\left|sin^2x-cos^2x\right|$

$=\left|\left(sinx+cosx\right)\left(sinx-cosx\right)\right|$

$=\left|m\left(2-m^2\right)\right|=\left|2m-m^3\right|$

b: $m=sinx+cosx$

$=\sqrt{2}\cdot\left(sinx\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+cosx\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$=\sqrt{2}\cdot sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)$

=>$\left|m\right|=\sqrt{2}\cdot\left|sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\right|$

$0< =\left|sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\right|< =1$

=>$0< =\sqrt{2}\cdot\left|sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\right|< =\sqrt{2}$

=>$\left|m\right|< =\sqrt{2}$

Đúng(0)

TH

Trịnh Hương Giang

18 tháng 11 2019

Biết sin x + cos x = m. Tìm $\left|\sin^4x-\cos^4x\right|$ . Chứng minh rằng $\left|m\right|\le\sqrt{2}$

#Toán lớp 10

2

PN

Pumpkin Night

18 tháng 11 2019

$A=\left|\sin^4x-\cos^4x\right|=\left|\left(\sin^2x\right)^2-\left(\cos^2x\right)^2\right|$

$A=\left|\left(1-\cos^2x\right)^2-\left(\cos^2x\right)^2\right|=\left|1-2\cos^2x+\cos^4x-\cos^4x\right|$

$\sin x+\cos x=m\Rightarrow\cos x=m-\sin x\Rightarrow\sin x-\cos x=\sin x-m+\sin x=2\sin x-m$

Có $\sin x+\cos x=m\Rightarrow\sin^2x+\cos^2x+2\sin x.\cos x=m^2$

$\Leftrightarrow2\sin x.\cos x=m^2-1$

$\left(\sin x-\cos x\right)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x.\cos x=1-2.\left(m^2-1\right)=1-2m^2+2=3-2m^2$

$\Rightarrow\sin x-\cos x=\sqrt{\left(\sin x-\cos x\right)^2}=\sqrt{3-2m^2}$

$A=\left|m\sqrt{3-2m^2}\right|=\left|m\right|.\left|\sqrt{3-2m^2}\right|$

P/s: lm đc mỗi đến đây thui à, cái CM kia chịu nhoa :)

Đúng(0)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

20 tháng 11 2019

$\left(sinx+cosx\right)^2=m^2\Rightarrow1+2sinx.cosx=m^2$$\Rightarrow2sinx.cosx=m^2-1$

$\Rightarrow\left(sinx-cosx\right)^2=\left(sinx+cosx\right)^2-4sinx.cosx=m^2-2\left(m^2-1\right)=2-m^2$

Mà $\left(sinx-cosx\right)^2\ge0$ $\forall x\Rightarrow2-m^2\ge0\Rightarrow m^2\le2\Rightarrow\left|m\right|\le\sqrt{2}$

Ta lại có $\left(sinx-cosx\right)^2=2-m^2\Rightarrow\left|sinx-cosx\right|=\sqrt{2-m^2}$

$A=\left|sin^4x-cos^4x\right|=\left|\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^2x-cos^2x\right)\right|$

$=\left|\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+cosx\right)\right|$

$=\left|m\sqrt{2-m^2}\right|=\left|m\right|\sqrt{2-m^2}$

Đúng(0)

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

23 tháng 3 2022

Biết $\sin x+\cos x=m$.

a) Tính $\sin x \cos x$ và $\left|\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right|$ theo $m$.

b) Chứng minh rằng $|m| \leq \sqrt{2}$.

#Toán lớp 10

2

NN

Nguyễn Ngọc Quỳnh Như

23 tháng 3 2022

tôi nói

Đúng(0)

CT

Cao Thị Kim Ngân

18 tháng 7 2022

a) Ta có (\sin x+\cos x)^{2}=\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x+\cos ^{2} x=1+2 \sin x \cos x(sinx+cosx)2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+2sinxcosx (*)
Mặt khác \sin x+\cos x=msinx+cosx=m nên m^{2}=1+2 \sin \alpha \cos \alpham2=1+2sinαcosα hay \sin \alpha \cos \alpha=\dfrac{m^{2}-1}{2}sinαcosα=2m2−1
Đặt A=\left|\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right|A=∣∣sin4x−cos4x∣∣. Ta có
A=\left|\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)\right|=|(\sin x+\cos x)(\sin x-\cos x)|A=∣∣(sin2x+cos2x)(sin2x−cos2x)∣∣=∣(sinx+cosx)(sinx−cosx)∣
\Rightarrow A^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}(\sin x-\cos x)^{2}=(1+2 \sin x \cos x)(1-2 \sin x \cos x)⇒A2=(sinx+cosx)2(sinx−cosx)2=(1+2sinxcosx)(1−2sinxcosx)

\Rightarrow A^{2}=\left(1+\dfrac{m^{2}-1}{2}\right)\left(1-\dfrac{m^{2}-1}{2}\right)=\dfrac{3+2 m^{2}-m^{4}}{4}⇒A2=(1+2m2−1)(1−2m2−1)=43+2m2−m4
Vậy A=\dfrac{\sqrt{3+2 m^{2}-m^{4}}}{2}A=23+2m2−m4

b) Ta có 2 \sin x \cos x \leq \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=12sinxcosx≤sin2x+cos2x=1 kết hợp với (*)(∗) suy ra

(\sin x+\cos x)^{2} \leq 2 \Rightarrow|\sin x+\cos x| \leq \sqrt{2}(sinx+cosx)2≤2⇒∣sinx+cosx∣≤2

Vậy |m| \leq \sqrt{2}∣m∣≤2.

Đúng(0)

SG

Sách Giáo Khoa

8 tháng 4 2017

Chứng minh rằng với $0^0\le x\le180^0$ ta có :

a) $\left(\sin x+\cos x\right)^2=1+2\sin x\cos x$

b) $\left(\sin x-\cos x\right)^2=1-2\sin x\cos x$

c) $\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x$

#Toán lớp 10

1

BT

Bùi Thị Vân

18 tháng 5 2017

a) $\left(sinx+cosx\right)^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x$$=1+2sinxcosx$.
b) $\left(sinx-cosx\right)^2=sin^2x-2sinxcosx+cos^2x$$=1-2sinxcosx$.
c) $sin^4x+cos^4x=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2xcos^2x$
$=1-2sin^2xcos^2x$.

Đúng(0)

K

Kiki :))

17 tháng 5 2021

Tìm số đo góc nhọn x:a) $4\sin x-1=1$b) $2\sqrt{3}-3\tan x=\sqrt{3}$c) $7\sin-3\cos\left(90^o-x\right)=2,5$d) $\left(2\sin-\sqrt{2}\right)\left(4\cos-5\right)=0$e) \(\dfrac{1}{\cos^2x}-\tan...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

2

迪丽热巴·迪力木拉提

17 tháng 5 2021

a) $4sinx-1=1\Leftrightarrow4sinx=2\Leftrightarrow sinx=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x=30^o$

b) $2\sqrt{3}-3tanx=\sqrt{3}\Leftrightarrow3tanx=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\Leftrightarrow tanx=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\Leftrightarrow x=30^o$

c) $7sinx-3cos\left(90^o-x\right)=2,5\Leftrightarrow7sinx-3sinx=2,5\Leftrightarrow4sinx=2,5\Leftrightarrow sinx=\dfrac{5}{8}\Leftrightarrow x=30^o41'$

d)$\left(2sin-\sqrt{2}\right)\left(4cos-5\right)=0$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2sin-\sqrt{2}=0\\4cos-5=0\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2sin=\sqrt{2}\\4cos=5\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\cos=\dfrac{5}{4}\left(loai\right)\end{matrix}\right.$$\Rightarrow x=45^o$

Đúng(2)

迪丽热巴·迪力木拉提

17 tháng 5 2021

Xin lỗi nãy đang làm thì bấm gửi, quên còn câu e, f nữa:"(

e) $\dfrac{1}{cos^2x}-tanx=1\Leftrightarrow1+tan^2x-tanx-1=0\Leftrightarrow tan^2x-tanx=0\Leftrightarrow tanx\left(tanx-1\right)=0\Rightarrow tanx-1=0\Leftrightarrow tanx=1\Leftrightarrow x=45^o$

f) $cos^2x-3sin^2x=0,19\Leftrightarrow1-sin^2x-3sin^2x=0,19\Leftrightarrow1-4sin^2x=0,19\Leftrightarrow4sin^2x=0,81\Leftrightarrow sin^2x=\dfrac{81}{400}\Leftrightarrow sinx=\dfrac{9}{20}\Leftrightarrow x=26^o44'$

Đúng(2)

LS

Lê Song Phương

26 tháng 2 2023

Giải các pt

a) $\sqrt{2}\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=3\sin x+\cos x+2$

b) $\dfrac{\left(2-\sqrt{3}\right)\cos x-2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)}{2\cos x-1}=1$

c) $2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}-x\right)\sin x=1$

#Toán lớp 10

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

26 tháng 2 2023

a.

$\sqrt{2}sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=3sinx+cosx+2$

$\Leftrightarrow sin2x+cos2x=3sinx+cosx+2$

$\Leftrightarrow2sinx.cosx-3sinx+2cos^2x-cosx-3=0$

$\Leftrightarrow sinx\left(2cosx-3\right)+\left(cosx+1\right)\left(2cosx-3\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(2cosx-3\right)\left(sinx+cosx+1\right)=0$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=\dfrac{3}{2}\left(vn\right)\\sinx+cosx+1=0\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$

$\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow...$

Đúng(1)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

26 tháng 2 2023

b.

ĐKXĐ: $cosx\ne\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ne\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x\ne-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.$

$\dfrac{\left(2-\sqrt{3}\right)cosx-2sin^2\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)}{2cosx-1}=1$

$\Rightarrow\left(2-\sqrt{3}\right)cosx+cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=2cosx$

$\Leftrightarrow-\sqrt{3}cosx+sinx=0$

$\Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=0$

$\Rightarrow x-\dfrac{\pi}{3}=k\pi$

$\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$

Kết hợp ĐKXĐ $\Rightarrow x=\dfrac{4\pi}{3}+k2\pi$

Đúng(1)

HC

Học Chăm Chỉ

30 tháng 10 2019

chứng minh biểu thức ko phụ thuộc vào x

A= $\sqrt{\sin^4x+4\cos^2x}+\sqrt{\cos^4x+4\sin^2x}$

B= $3\left(\sin^8x-\cos^8x\right)+4\left(\cos^6x-2\sin^6x\right)+6\sin^4x$

#Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

30 tháng 10 2019

$A=\sqrt{\left(1-cos^2x\right)^2+4cos^2x}+\sqrt{\left(1-sin^2x\right)^2+4sin^2x}$

$=\sqrt{cos^4x+2cos^2x+1}+\sqrt{sin^4x+2sin^2x+1}$

$=\sqrt{\left(cos^2x+1\right)^2}+\sqrt{\left(sin^2x+1\right)^2}$

$=sin^2x+cos^2x+2=3$

b/

$3\left(sin^8x-cos^8x\right)=3\left(sin^4x+cos^4x\right)\left(sin^4x-cos^4x\right)$

$=3\left(sin^4x+cos^4x\right)\left(sin^2x-cos^2x\right)$

$=3sin^6x-3sin^4x.cos^2x+3sin^2x.cos^4x-3cos^6x$

$\Rightarrow B=-5sin^6x-3sin^4x.cos^2x+3sin^2x.cos^4x+cos^6x+6sin^4x$

$=-5sin^6x-3sin^4x\left(1-sin^2x\right)+3cos^4x\left(1-cos^2x\right)+cos^6x+6sin^4x$

$=-2sin^6x-2cos^6x+3sin^4x+3cos^4x$

$=-2\left(1-3sin^2x.cos^2x\right)+3\left(1-2sin^2x.cos^2x\right)$

$=-2+3=1$

Đúng(0)

DN

Dương Nguyễn

10 tháng 7 2021

Giải PT

a) $\left|\sin x-\cos x\right|+\left|\sin x+\cos x\right|=2$

b) $\tan x-3\cot x=4\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)$

c) $2\sin^2x-2\sqrt{2}\sin x+3\tan^22x-2\sqrt{3}\tan2x+2=0$

#Toán lớp 11

1

LT

Lê Thị Thục Hiền

11 tháng 7 2021

a) $\left|sinx-cosx\right|+\left|sinx+cosx\right|=2$

$\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)^2+2\left|sinx-cosx\right|\left|sinx+cosx\right|+\left(cosx+sinx\right)^2=4$

$\Leftrightarrow2\left(sin^2x+cos^2x\right)+2\left|\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+cosx\right)\right|=4$

$\Leftrightarrow\left|sin^2x-cos^2x\right|=1$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin^2x-cos^2x=1\\sin^2x-cos^2x=-1\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin^2x-cos^2x=sin^2x+cos^2x\\sin^2x-cos^2x=-\left(sin^2x+cos^2x\right)\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos^2x=0\\sin^2x=0\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\sinx=0\end{matrix}\right.$$\Rightarrow cosx.sinx=0\Rightarrow sin2x=0$

$\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{2},k\in Z$

Vậy...

b) ĐK:$x\ne\dfrac{k\pi}{2};k\in Z$

Pt $\Leftrightarrow\dfrac{sinx}{cosx}-\dfrac{3cosx}{sinx}=4\left(sinx+\sqrt{3}cosx\right)$

$\Leftrightarrow\dfrac{sin^2x-3cos^2x}{cosx.sinx}=4\left(sinx+\sqrt{3}cosx\right)$

$\Leftrightarrow\dfrac{\left(sinx-\sqrt{3}cosx\right)\left(sinx+\sqrt{3}cosx\right)}{sinx.cosx}=4\left(sinx+\sqrt{3}cosx\right)$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+\sqrt{3}cosx=0\left(1\right)\\\dfrac{sinx-\sqrt{3}cosx}{sinx.cosx}=4\left(2\right)\end{matrix}\right.$

Từ $\left(1\right)\Leftrightarrow tanx=-\sqrt{3}\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi,k\in Z$

Từ (2)$\Leftrightarrow sinx-\sqrt{3}cosx=4sinx.cosx$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}sinx-\dfrac{\sqrt{3}}{2}cosx=2sinx.cosx$

$\Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=sin2x$$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\dfrac{4\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\end{matrix}\right.$$\left(k\in Z\right)$

Vậy $\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi\\x=\dfrac{4\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\end{matrix}\right.$$\left(k\in Z\right)$

c) ĐK: $x\ne\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\left(k\in Z\right)$

Pt $\Leftrightarrow\left(\sqrt{2}sinx-1\right)^2+\left(\sqrt{3}tan2x-1\right)^2=0$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}sinx-1=0\\\sqrt{3}tan2x-1=0\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\tan2x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\\x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi\end{matrix}\right.\\x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi\end{matrix}\right.$$\Rightarrow x\in\varnothing$

Vậy pt vô nghiệm

Đúng(3)

SG

Sách Giáo Khoa

11 tháng 4 2017

Chứng minh rằng $f'\left(x\right)=0;\forall x\in R$ nếu...

Đọc tiếp

#Toán lớp 11

1